Rektangelet $PSRQ$ har hjørnene $P$ på grafen til $f$, $S$ og $R$ på $x$-aksen, og $R$ og $Q$ med førstekoordinat $x=12$. Siden $PSRQ$ er et rektangel, må $PS$ være loddrett og $QP$ vannrett. Det betyr at $P$ og $S$ har samme førstekoordinat, kall den $x$, og at $P$ og $Q$ har samme andrekoordinat.

Da er

Bredden av rektangelet er avstanden mellom $S$ og $R$, altså $12-x$ (positiv siden $S$ ligger mellom origo og $R$, så $x<12$). Høyden er $f(x)=x^2+21$.

Arealet blir dermed

for $x\in ⟨0,12⟩$ (bredde og høyde må begge være positive), som var det som skulle vises.

Vi deriverer $A$ og faktoriserer i CAS.

Nullpunktene til $A^{\prime }$ er $x=1$ og $x=7$. Fortegnet til $A^{\prime }(x)=-3(x-1)(x-7)$:

Dette gir et lokalt minimum i $x=1$ og et lokalt maksimum i $x=7$:

Siden $A$ avtar på $⟨7,12⟩$ og $A(x)\to 0$ når $x\to 12$ (uten at $x=12$ er med i det åpne intervallet), finnes det ingen minste verdi — arealet kan komme vilkårlig nære $0$, men aldri nå det. Legg merke til at $A(11)=142$, som er mindre enn det lokale minimumet $A(1)=242$ — dette viser at det lokale minimumet ikke er den minste verdien til funksjonen.

Den største verdien arealet kan ha, er derfor

Arealet har ingen minste verdi på det åpne intervallet $⟨0,12⟩$.

Vi tegner grafen til $A$ i GeoGebra, med det lokale minimumet i $x=1$ (rødt) og det lokale maksimumet i $x=7$ (grønt) markert.

Grafen bekrefter analysen fra b): $A$ avtar først, har et lokalt bunnpunkt i $(1,242)$, stiger til et toppunkt i $(7,350)$, og avtar deretter mot $0$ når $x$ nærmer seg $12$. Grafen viser tydelig at kurven fortsetter å synke godt under $242$ etter $x=7$, slik at $x=1$ bare gir et lokalt (og ikke globalt) minimum.