Rektangel innskrevet i sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et rektangel $A B C D$ er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i $O$ og radius 10. Vi setter $∠ C O D = v$ , der $0 < v < π$ . Se figuren nedenfor.

Rektangel ABCD innskrevet i sirkel med sentrum O og radius 10

For hånd

Vis ved regning at arealet $F$ av sirkelsektoren $C O D$ er

F (v) = 50 v

For hånd

Vis ved regning at arealet $T$ av det fargelagte området på figuren kan skrives som

T (v) = 50 (v + 3 \sin v)

Kalkulator

Bestem $v$ grafisk slik at $T$ blir størst mulig. Bestem $T_{maks}$ .

Fasit

$F (v) = 50 v$

$T (v) = 50 (v + 3 \sin v)$

$v \approx 1,91 (\approx 109,5 °), T_{maks} \approx 237$

LøsningsforslagKI-generert

Arealet av en sirkelsektor med radius $r$ og sentervinkel $v$ (i radianer) er gitt ved

F = \frac{1}{2} r^{2} v

Her er $r = 10$ , så

F (v) = \frac{1}{2} \cdot 10^{2} \cdot v = 50 v

Det fargelagte området $T$ består av rektangelet $A B C D$ pluss det sirkelavsnittet (det blå “hetteområdet”) mellom korden $D C$ og buen $D C$ øverst på figuren.

Rektangelets areal. I trekant $C O D$ er $O C = O D = 10$ og vinkelen mellom dem er $v$ . Lar vi $M$ være midtpunktet på $D C$ , blir $O M ⟂ D C$ , og siden trekanten er likebeint deler $O M$ vinkelen $v$ i to like deler:

D M = 10 \sin (\frac{v}{2}), O M = 10 \cos (\frac{v}{2})

Dermed er $D C = 2 \cdot D M = 20 \sin (\frac{v}{2})$ .

Siden $A B C D$ er et rektangel, er $A B = D C$ . To like lange, parallelle korder ligger like langt fra sentrum, så $O$ ligger midt mellom $D C$ og $A B$ . Høyden i rektangelet blir da

A D = 2 \cdot O M = 20 \cos (\frac{v}{2})

Arealet av rektangelet er

T_{rektangel} = D C \cdot A D = 20 \sin (\frac{v}{2}) \cdot 20 \cos (\frac{v}{2}) = 400 \sin (\frac{v}{2}) \cos (\frac{v}{2})

Bruker vi den doble vinkelens formel $2 \sin u \cos u = \sin (2 u)$ med $u = \frac{v}{2}$ , får vi

T_{rektangel} = 200 \sin v

Sirkelavsnittets areal. Trekant $C O D$ er likebeint med to sider $10$ og mellomliggende vinkel $v$ , så

Areal (C O D) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin v = 50 \sin v

Sirkelavsnittet (arealet mellom korden $D C$ og buen) er sektorarealet minus trekantarealet:

T_{avsnitt} = F (v) - Areal (C O D) = 50 v - 50 \sin v

Totalt fargelagt areal.

T (v) = T_{rektangel} + T_{avsnitt} = 200 \sin v + 50 v - 50 \sin v = 50 v + 150 \sin v

T (v) = 50 (v + 3 \sin v)

Vi tegner grafen til $T (v) = 50 (v + 3 \sin v)$ for $0 < v < π$ i GeoGebra og finner toppunktet med kommandoen Extremum.

Graf av T(v) med maksimumspunkt

Grafen viser at $T$ har et toppunkt (maksimum) i

v \approx 1,91 (\approx 109,5 °)

med maksimalt areal

T_{maks} \approx 236,95 \approx 237

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2014, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Optimering, Geometri, Integrasjon

Rektangel innskrevet i sirkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rektangel innskrevet i sirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rektangel innskrevet i sirkel

Rektangel innskrevet i sirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer