Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren er et rektangel med sider $x$ og $y$ innskrevet i en sirkel. Sirkelen har diameteren $D$ . $∠ v$ er vinkelen mellom $x$ og $D$ .

Rektangel med sider x og y innskrevet i sirkel med diameter D

For hånd

Forklar at omkretsen $O$ til rektangelet kan skrives som

O (v) = 2 D \cos v + 2 D \sin v

Bestem også et funksjonsuttrykk for arealet $A (v)$ av rektangelet.

Kalkulator

Bruk $O^{'} (v)$ og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er et kvadrat.

Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren $D$ .

Kalkulator

Bruk $A^{'} (v)$ og vis at det rektangelet som har størst areal, også er et kvadrat.

Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren $D$ .

Fasit

$A (v) = D^{2} \sin v \cos v$

Størst omkrets ved $v = 45 °$ : $O_{\max} = 2 \sqrt{2} D$

Størst areal ved $v = 45 °$ : $A_{\max} = \frac{D^{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Diagonalen i rektangelet er lik diameteren $D$ i sirkelen. Diagonalen deler rektangelet i to rettvinklede trekanter der $D$ er hypotenusen, og $∠ v$ er vinkelen mellom siden $x$ og $D$ . Da er

\cos v = \frac{x}{D} \Rightarrow x = D \cos v

\sin v = \frac{y}{D} \Rightarrow y = D \sin v

Omkretsen av rektangelet er $O = 2 x + 2 y$ , altså

O (v) = 2 D \cos v + 2 D \sin v

Arealet av rektangelet er $A = x \cdot y$ , altså

A (v) = D \cos v \cdot D \sin v = D^{2} \sin v \cos v

der $0 < v < 90 °$ .

Vi deriverer $O (v)$ :

O^{'} (v) = - 2 D \sin v + 2 D \cos v = 2 D (\cos v - \sin v)

Se skjermbildet fra CAS under, linje 2. Vi setter $O^{'} (v) = 0$ :

\cos v = \sin v \Rightarrow \tan v = 1 \Rightarrow v = 45 °

(se linje 3 i utklippet, som gir generell løsning $v = \frac{π}{4} + k π$ , og innenfor $⟨ 0 °, 90 ° ⟩$ er $v = 45 °$ eneste løsning).

For $v < 45 °$ er $\cos v > \sin v$ , så $O^{'} (v) > 0$ (voksende). For $v > 45 °$ er $\cos v < \sin v$ , så $O^{'} (v) < 0$ (avtagende). Dermed er $v = 45 °$ et toppunkt, og omkretsen er størst når $v = 45 °$ .

Når $v = 45 °$ , er

x = D \cos 45 ° = D \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, y = D \sin 45 ° = D \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Siden $x = y$ , er rektangelet et kvadrat.

Den største omkretsen er (se linje 4 i utklippet)

O (45 °) = 2 D \cos 45 ° + 2 D \sin 45 ° = 2 \sqrt{2} D

CAS-utregning av O'(v), A'(v) og maksimalverdier

Vi deriverer $A (v) = D^{2} \sin v \cos v$ (se linje 6 i utklippet):

A^{'} (v) = D^{2} \cos^{2} v - D^{2} \sin^{2} v = D^{2} (\cos^{2} v - \sin^{2} v)

Vi setter $A^{'} (v) = 0$ :

\cos^{2} v = \sin^{2} v \Rightarrow \tan^{2} v = 1 \Rightarrow v = 45 °

(linje 7 i utklippet viser at innenfor $⟨ 0 °, 90 ° ⟩$ er $v = 45 °$ eneste løsning).

For $v < 45 °$ er $\cos^{2} v > \sin^{2} v$ , så $A^{'} (v) > 0$ (voksende). For $v > 45 °$ er $\cos^{2} v < \sin^{2} v$ , så $A^{'} (v) < 0$ (avtagende). Dermed er $v = 45 °$ et toppunkt, og arealet er størst når $v = 45 °$ .

Siden $x = y$ ved $v = 45 °$ (vist i b), er dette igjen et kvadrat.

Det største arealet er (se linje 8 i utklippet)

A (45 °) = D^{2} \sin 45 ° \cos 45 ° = D^{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{D^{2}}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2013, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Trigonometri, Derivasjon

Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal

Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer