Diagonalen i rektangelet går gjennom sentrum $S$ i sirkelen, og halve diagonalen er da lik radien $r$. Vi kan finne diagonalen ved å bruke Pytagoras’ setning på den rettvinklede trekanten som lengden og bredden i rektangelet danner med diagonalen:

Radien er halve diagonalen:

Svar: $\underline{\underline{r\approx \mathrm{5,59}}}$

Rektangelet har lengde $2x$, altså er halve lengden lik $x$. La halve bredden være $y$. Siden alle fire hjørnene i rektangelet ligger på sirkelen, er senter for sirkelen også skjæringspunktet mellom diagonalene, og avstanden fra senteret til et hjørne er lik radien $r=10$.

Da danner $x$, $y$ og radien en rettvinklet trekant, og Pytagoras’ setning gir

Bredden i rektangelet er da $2y=2\sqrt{100-x^2}$, og arealet blir lengde ganger bredde:

Dette er nettopp uttrykket vi skulle vise.

For å finne det største arealet deriverer vi $A(x)=4x\sqrt{100-x^2}$ og finner hvor den deriverte er lik null. GeoGebra CAS gir

Fra utklippet ser vi at

Likningen $A^{\prime }(x)=0$ har løsningene $x=-5\sqrt{2}$ og $x=5\sqrt{2}$. Siden $x$ er en halv lengde, må $x>0$, så vi forkaster den negative løsningen og står igjen med

Siden $A^{\prime }(x)>0$ for $x<5\sqrt{2}$ og $A^{\prime }(x)<0$ for $x>5\sqrt{2}$ (innenfor det gyldige området $0<x<10$), er dette et maksimumspunkt. GeoGebra CAS gir maksimalarealet direkte:

Lengden i det optimale rektangelet er

og bredden er

Lengden og bredden er altså like store — det rektangelet med størst areal er et kvadrat med sidelengde $10\sqrt{2}\mathrm{cm}\approx \mathrm{14,1}\mathrm{cm}$ (dersom lengdeenheten er cm).

Svar: $\underline{\underline{A_{\text{maks}}=200}}$, oppnådd for lengde $=$ bredde $=10\sqrt{2}\approx \mathrm{14,1}$