Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser et rektangel som er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant. Trekanten har hjørner i $(- 2, 0)$ , $(2, 0)$ og $(0, 2)$ . Arealet $T$ av rektangelet er avhengig av hvor på kateten punktet $P (a, b)$ blir plassert.

Bestem den største verdien $T$ kan ha.

Fasit

$T = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Høyre side av trekanten går fra $(2, 0)$ til $(0, 2)$ . Stigningstallet er $\frac{2 - 0}{0 - 2} = - 1$ , så linjen har ligningen $y = - x + 2$ .

Punktet $P (a, b)$ ligger på denne linjen, det vil si $b = - a + 2$ .

Rektangelet er symmetrisk om $y$ -aksen, så bredden er $2 a$ og høyden er $b$ .

Arealet til rektangelet er

T (a) = 2 a \cdot b = 2 a (- a + 2) = - 2 a^{2} + 4 a

der $a \in (0, 2)$ .

Vi finner maksimum ved å derivere og sette lik null:

T^{'} (a) = - 4 a + 4 = 0 ⟹ a = 1

Siden $T^{''} (a) = - 4 < 0$ , er $a = 1$ et maksimumspunkt.

Når $a = 1$ er $b = - 1 + 2 = 1$ , og det største arealet er

T (1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2022, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon

Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer