En uendelig, geometrisk rekke er gitt ved

$$S(x) = 1 + x + x^2 + \ldots$$

Når $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$, er $S(x) = \dfrac{1}{1-x}$

Det kan vises at $\displaystyle\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \ldots = \int \frac{1}{1-x}\,dx$

a)

Forklar at

$$x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + \ldots = -\ln(1-x) + C$$

Begrunn at $C = 0$.

b)

Sett inn $x = \dfrac{1}{2}$ og vis at

$$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^4} + \ldots = \ln 2$$

Det generelle leddet i rekken ovenfor er $a_n = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{2^n}$.

Det kan vises at de åtte første desimalene i $\ln 2$ er $0{,}69314718$.

c)

Dersom vi summerer de $n$ første leddene $a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ i rekken i oppgave b), får vi en tilnærmingsverdi for $\ln 2$.

Hvor mange ledd må vi minst ta med for at vi skal få 6 korrekte desimaler?