Rasjonalt uttrykk, potenser, høyde i trekant og tusjtrekning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig $\frac{x^{2} - 25}{x^{2} + 10 x + 25}$

Løs likningen $3^{2 x - 1} = 1$

Skriv så enkelt som mulig $\frac{a^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{a}}{{(a^{\frac{3}{4}})}^{3} \cdot a^{- 2}}$

Rettvinklet trekant ABC med høyden h fra C ned på AB

Gitt $△ A B C$ ovenfor. $A B = 5,0$ , $A C = 3,0$ og $B C = 4,0$ .

Bestem høyden $h$ ved regning.

Grafene til f og g med punktene (−3, 0), (0, 3), (1, 0), (3, 0) og (5, 8)

I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$ .

Bruk grafene til å løse de to ulikhetene nedenfor

f (x) \leq 0

f (x) > g (x)

Gitt $△ A B C$ der $∠ A = 90 °$ , $A B = 3,0$ og $\tan C = 2$ . Bestem lengden av $A C$ .

Line har tre blå, to røde og én grønn tusj i pennalet sitt.

Hun trekker tilfeldig to tusjer.

Bestem sannsynligheten for at hun ikke trekker den grønne tusjen.

Bestem sannsynligheten for at hun trekker én blå og én rød tusj.

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + 1$ Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 2 x$

Fasit

$\frac{x - 5}{x + 5}$

$x = \frac{1}{2}$

$\sqrt{a}$

$h = 2,4$

1) $1 \leq x \leq 3$ 2) $x < 0 eller x > 5$

$A C = 1,5$

1) $P = \frac{2}{3}$ 2) $P = \frac{2}{5}$

$f^{'} (x) = 2 x$ (vist ved regning)

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer teller og nevner. Telleren er en konjugatsetning, nevneren et fullstendig kvadrat:

\frac{x^{2} - 25}{x^{2} + 10 x + 25} = \frac{(x - 5) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2}}

Vi forkorter med den felles faktoren $(x + 5)$ :

\frac{(x - 5) (x + 5)}{(x + 5) (x + 5)} = \frac{x - 5}{x + 5}

Vi løser $3^{2 x - 1} = 1$ . Siden $3^{0} = 1$ , må eksponenten være lik $0$ :

\begin{matrix} 2 x - 1 & = 0 \\ x & = \frac{1}{2} \end{matrix}

Vi skriver om røttene til potenser med brøkeksponent: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ . Teller og nevner forenkles hver for seg ved å legge sammen eksponenter:

Teller: a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = a^{\frac{3}{4}}

Nevner: {(a^{\frac{3}{4}})}^{3} \cdot a^{- 2} = a^{\frac{9}{4}} \cdot a^{- 2} = a^{\frac{9}{4} - \frac{8}{4}} = a^{\frac{1}{4}}

Vi setter sammen og forkorter:

\frac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

I trekanten er $∠ C = 90 °$ , og siden ${3,0}^{2} + {4,0}^{2} = 9 + 16 = 25 = {5,0}^{2}$ , stemmer dette med Pytagoras’ setning: $A B = 5,0$ er hypotenusen, og $A C = 3,0$ , $B C = 4,0$ er katetene.

Vi regner ut arealet av trekanten på to måter. Med $A C$ og $B C$ som grunnlinje og høyde:

Areal = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 3,0 \cdot 4,0 = 6,0

Med $A B$ som grunnlinje og $h$ som høyde:

Areal = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5,0 \cdot h

Vi setter de to uttrykkene for arealet lik hverandre og løser for $h$ :

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot 5,0 \cdot h & = 6,0 \\ h & = \frac{2 \cdot 6,0}{5,0} = 2,4 \end{matrix}

Av grafene leser vi at $f (x) = (x - 1) (x - 3)$ har nullpunkter i $x = 1$ og $x = 3$ , og at $f$ er en oppovervendt parabel.

1) $f (x) \leq 0$ der grafen til $f$ ligger på eller under $x$ -aksen, altså mellom nullpunktene:

1 \leq x \leq 3

2) $f (x) > g (x)$ der den blå grafen ligger over den røde. Grafene skjærer hverandre i $(0, 3)$ og $(5, 8)$ , og av grafen ser vi at parabelen ligger over linjen til venstre for $x = 0$ og til høyre for $x = 5$ :

x < 0 eller x > 5

I trekanten er $∠ A = 90 °$ , så $A B$ og $A C$ er katetene og $B C$ er hypotenusen. Sett fra vinkelen $C$ er $A B$ motstående katet og $A C$ hosliggende katet, så

\tan C = \frac{A B}{A C}

Vi setter inn kjente verdier og løser for $A C$ :

\begin{matrix} 2 & = \frac{3,0}{A C} \\ A C & = \frac{3,0}{2} = 1,5 \end{matrix}

Pennalet har $3 + 2 + 1 = 6$ tusjer totalt.

1) «Ikke grønn» betyr at begge tusjene trekkes blant de $5$ som ikke er grønne. Antall måter å velge $2$ av $6$ tusjer på er $(\binom{6}{2}) = 15$ , og antall måter å velge $2$ av de $5$ ikke-grønne på er $(\binom{5}{2}) = 10$ :

P (ikke grønn) = \frac{(\binom{5}{2})}{(\binom{6}{2})} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

2) For én blå og én rød tusj velger vi $1$ av $3$ blå og $1$ av $2$ røde:

P (én blå og én rød) = \frac{(\binom{3}{1}) \cdot (\binom{2}{1})}{(\binom{6}{2})} = \frac{3 \cdot 2}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

Vi bruker definisjonen av den deriverte:

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Vi setter inn $f (x) = x^{2} + 1$ :

\begin{matrix} f^{'} (x) & = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} + 1 - (x^{2} + 1)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} + 1 - x^{2} - 1}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h} \\ = \lim_{h \to 0} (2 x + h) \\ = 2 x \end{matrix}

Dermed er $f^{'} (x) = 2 x$ , som skulle vises.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2011, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 14
Temaer: Rasjonale uttrykk, Potenser, Eksponentiallikning, Trigonometri, Ulikheter, Sannsynlighet, Derivasjon

Rasjonalt uttrykk, potenser, høyde i trekant og tusjtrekning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rasjonalt uttrykk, potenser, høyde i trekant og tusjtrekning

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rasjonalt uttrykk, potenser, høyde i trekant og tusjtrekning

Rasjonalt uttrykk, potenser, høyde i trekant og tusjtrekning

Lov på eksamen

Temaer