Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Klassen til Noah og Johanne arbeider med rasjonale funksjoner. Læreren har tegnet grafene til to rasjonale funksjoner $f$ og $g$ og bedt elevene undersøke hvordan funksjonsuttrykkene kan se ut.

Graf til f

Hjelp Noah og Johanne med å finne fram til et mulig funksjonsuttrykk $f (x)$ for funksjonen $f$ og et mulig funksjonsuttrykk $g (x)$ for funksjonen $g$ .

Husk å argumentere for dine valg av funksjonsuttrykk.

Fasit

$f (x) = \frac{5 x - 2}{x^{2} - 1}$ og $g (x) = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av egenskapene til grafene og setter opp funksjonsuttrykk som passer.

Funksjonen $f$

Grafen til $f$ har følgende egenskaper:

To vertikale asymptoter ved $x = - 1$ og $x = 1$
Horisontal asymptote $y = 0$
Positiv $y$ -skjæring ( $f (0) > 0$ )
Nullpunkt mellom $0$ og $1$ (ca. $x = 0,4$ )

Siden $f$ har vertikale asymptoter ved $x = - 1$ og $x = 1$ , må nevneren ha nullpunkter nettopp der. En naturlig nevner er

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

Telleren må gi nullpunkt nær $x = 0,4$ . Et lineært uttrykk $5 x - 2$ har nullpunkt i $x = \frac{2}{5}$ , som passer godt. Da blir

f (x) = \frac{5 x - 2}{x^{2} - 1}

Vi verifiserer:

Vertikale asymptoter: $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ ✓
Nullpunkt: $5 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$ ✓
$y$ -skjæring: $f (0) = \frac{- 2}{- 1} = 2 > 0$ ✓
Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 x - 2}{x^{2} - 1} = 0$ ✓

Funksjonen $g$

Grafen til $g$ har følgende egenskaper:

Ingen vertikale asymptoter
Horisontal asymptote $y = 0$
Negativ $y$ -skjæring og samme type teller som $f$ (lik nullpunkt og y-skjæring i tallverdi før fortegn)
Lokalt minimum like til venstre for $y$ -aksen, lokalt maksimum til høyre

Siden $g$ ikke har vertikale asymptoter, må nevneren aldri bli null. Vi beholder samme teller som i $f$ og bytter nevner til $x^{2} + 1$ (alltid positiv):

g (x) = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}

Vi verifiserer:

Ingen vertikale asymptoter: $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ for alle $x$ ✓
Nullpunkt: $5 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$ ✓
$y$ -skjæring: $g (0) = \frac{- 2}{1} = - 2$ ✓
Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1} = 0$ ✓

Grafene er tegnet i GeoGebra (blå = $f$ , rød = $g$ ) og samsvarer med originalfigurene:

Grafer til f og g

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet gis 2 poeng for hvert funksjonsuttrykk som kan være riktig og er argumentert for. Et funksjonsutrykk som kan være riktig, men ikke er argumentert for, gir ingen uttelling. En kandidat som kommer fram til to funksjonsuttrykk som kan være riktige, men ikke argumenterer for disse, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2025, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Funksjonen $f$

Funksjonen $g$

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Funksjonen f

Funksjonen g

Temaer

Funksjonen $f$

Funksjonen $g$