Likningen $f'(x) = k$ har løsning når vi kan løse

Siden $(x-1)^2 > 0$ for alle $x \neq 1$, kreves $2 - k > 0$, altså $k < 2$.

(Merk at $f'(x)$ har maksimum $\lim_{x\to 1} f'(x) = -\infty$, mens $f'(x) \to 2$ når $x \to \pm\infty$, men aldri når $2$. Så $f'(x) < 2$ for alle $x \neq 1$, og likningen har løsning nettopp når $k < 2$.)

For $k < 2$ gir CAS løsningene

(det siste steget fordi $\dfrac{\sqrt{2-k}}{k-2} = \dfrac{\sqrt{2-k}}{-(2-k)} = -\dfrac{1}{\sqrt{2-k}}$).

De to løsningene er altså

Midtpunktet er

Løsningene er derfor alltid symmetriske om $x = 1$, det vil si om den vertikale asymptoten til $f$.

Dette gir mening geometrisk: $f'(x) = 2 - \dfrac{1}{(x-1)^2}$, der $\dfrac{1}{(x-1)^2}$ er en jevn funksjon av $(x-1)$. Derfor er $f'(1+t) = f'(1-t)$ for alle $t$, slik at grafen til $f'$ er symmetrisk om linjen $x = 1$.

Vi deriverer $g(x) = ax + b + \dfrac{1}{x+d}$:

Likningen $g'(x) = 4$ har løsning når

Dette krever $a - 4 > 0$, altså $\boxed{a > 4}$.

Med $a = 3$ er $g'(x) = 3 - \dfrac{1}{(x+d)^2}$.

På samme måte som i a)–b) har likningen $g'(x) = k$ løsning nettopp når $k < 3$.

For $k < 3$ er løsningene

Midtpunktet er $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -d$, og løsningene er symmetriske om $x = -d$ (den vertikale asymptoten til $g$).

Vi skal finne $b$ og $d$ slik at $g'(-1) = g'(5)$ og $g(1) = 7$.

Betingelsen $g'(-1) = g'(5)$ betyr at $x = -1$ og $x = 5$ er symmetriske om asymptoten $x = -d$ (fra d)). Midtpunktet er

Vi bruker deretter $g(1) = 7$ med $a = 3$ og $d = -2$:

Altså er $b = 5$ og $d = -2$, og