Hvorfor $d=1$

En rasjonal funksjon har en vertikal asymptote der nevneren er lik null og telleren ikke samtidig er null. Nevneren i $f$ er $x-d$, og den er null når $x=d$. Siden grafen har vertikal asymptote $x=1$, må $d=1$.

Bestemme $a$, $b$ og $c$

Med $d=1$ har vi

Fra grafen ser vi at $f$ har nullpunkter i $x=-1$ og $x=2$. Telleren $a{x}^2+bx+c$ må da være null nettopp i disse punktene (siden $-1$ og $2$ ikke er lik $d=1$, forsvinner ikke disse nullpunktene fra brøken). Det betyr at telleren kan skrives som

Grafen viser også at $f(0)=2$. Vi setter $x=0$ inn i funksjonsuttrykket:

Siden $f(0)=2$, får vi

Da er telleren

Vi sammenlikner med $a{x}^2+bx+c$ og leser av

Kontroll: $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x-1}}$ gir $f(-1)={\displaystyle \frac{0}{-2}}=0$, $f(2)={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$ og $f(0)={\displaystyle \frac{-2}{-1}}=2$, som stemmer med grafen.

$\underline{\underline{d=1,a=1,b=-1,c=-2}}$