Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En funksjon $f$ er definert ved

f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1}, x \neq - 1 og x \neq 1

For hånd

Undersøk ved regning om grenseverdiene $\lim_{x \to - 1} f (x)$ og $\lim_{x \to 1} f (x)$ eksisterer.

Forklar hvorfor grafen til $f$ bare har én vertikal asymptote. Finn ligningen for den vertikale asymptoten til grafen.

For hånd

Vis ved regning at

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}

Bruk den deriverte til å finne koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

For hånd

Bestem $f^{''} (x)$ ved regning. Bruk den andrederiverte til å avgjøre hvor grafen til $f$ vender den hule siden opp og hvor grafen vender den hule siden ned.

For hånd

Tegn grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = f (e^{x}) = \frac{e^{3 x} + 1}{e^{2 x} - 1}, x \neq 0

For hånd

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

$\lim_{x \to - 1} f (x) = - \frac{3}{2}$ (eksisterer), $\lim_{x \to 1} f (x)$ eksisterer ikke. Vertikal asymptote: $x = 1$

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ . Toppunkt $(0, - 1)$ , bunnpunkt $(2, 3)$

$f^{''} (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$ . Hul side ned for $x < 1$ , hul side opp for $x > 1$

Se graf i løsningsforslaget

Bunnpunkt $(\ln 2, 3)$ (ingen toppunkt)

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler først uttrykket for $f$ ved polynomdivisjon. Siden $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ og $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ , kan vi forkorte med $(x + 1)$ (gyldig for $x \neq - 1$ ):

f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} = \frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}, x \neq - 1, x \neq 1

Dette bekreftes med CAS (se utklipp), der f(x) forenkles til nettopp $\frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ .

Videre polynomdivisjon gir en nyttig omskriving:

x^{2} - x + 1 = (x - 1) \cdot x + 1 \Rightarrow f (x) = x + \frac{1}{x - 1}

Denne formen bruker vi i b) og c).

Siden $x^{2} - x + 1$ er kontinuerlig og $x^{2} - x + 1 |_{x = - 1} = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ , mens telleren i den opprinnelige brøken har faktoren $(x + 1)$ som kansellerer nullpunktet til nevneren i $x = - 1$ , eksisterer grenseverdien der (det er et opphevbart bruddpunkt, ikke en asymptote):

\lim_{x \to - 1} f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} |_{x = - 1} = \frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2}

CAS bekrefter dette (Grenseverdi(f(x), x, -1) = -3/2, se utklipp).

I $x = 1$ har derimot $x^{2} - x + 1$ verdien $1 \neq 0$ , mens nevneren $x - 1 \to 0$ . Da vokser $| f (x) |$ uten grense, og grenseverdien eksisterer ikke (CAS gir ? for Grenseverdi(f(x), x, 1), se utklipp).

Grafen til $f$ har derfor bare én vertikal asymptote, siden bruddet i $x = - 1$ er opphevbart (et “hull” i grafen), mens bruddet i $x = 1$ gir en reell asymptote:

x = 1

CAS-utregning av grenseverdier Grenseverdi i x=1 eksisterer ikke

Vi deriverer $f (x) = x + \frac{1}{x - 1} = x + {(x - 1)}^{- 1}$ :

f^{'} (x) = 1 - {(x - 1)}^{- 2} = 1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}

som er det vi skulle vise. Dette stemmer også med CAS-utregningen (fp(x) forenklet til $\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ , som er samme uttrykk skrevet med felles brøkstrek):

1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

Vi finner kritiske punkter ved å løse $f^{'} (x) = 0$ :

1 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = 1 \Rightarrow x - 1 = \pm 1 \Rightarrow x = 0 \lor x = 2

CAS bekrefter $x = 0$ og $x = 2$ (se utklipp). Vi setter inn og finner funksjonsverdiene:

f (0) = 0 + \frac{1}{0 - 1} = - 1 f (2) = 2 + \frac{1}{2 - 1} = 3

For å avgjøre hva slags ekstremalpunkter dette er, undersøker vi fortegnet til $f^{'} (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ . Nevneren er alltid positiv (unntatt i $x = 1$ , der $f$ ikke er definert), så fortegnet bestemmes av telleren $x (x - 2)$ :

Fortegnslinje for f'(x)

I $x = 0$ skifter $f^{'}$ fortegn fra $+$ til $-$ , så dette er et toppunkt: $(0, - 1)$ . I $x = 2$ skifter $f^{'}$ fortegn fra $-$ til $+$ , så dette er et bunnpunkt: $(2, 3)$ .

CAS-utregning av f, f' og kritiske punkter Løsning av f'(x)=0 og funksjonsverdier

Vi deriverer $f^{'} (x) = 1 - {(x - 1)}^{- 2}$ én gang til:

f^{''} (x) = 2 {(x - 1)}^{- 3} = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}

Dette stemmer med CAS-utklippet, hvor fpp(x) forenkles til nettopp $\frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$ .

Fortegnet til $f^{''} (x)$ avhenger av fortegnet til ${(x - 1)}^{3}$ , som har samme fortegn som $(x - 1)$ :

For $x < 1$ er ${(x - 1)}^{3} < 0$ , så $f^{''} (x) < 0$ : grafen vender hul side ned (konkav).
For $x > 1$ er ${(x - 1)}^{3} > 0$ , så $f^{''} (x) > 0$ : grafen vender hul side opp (konveks).

$f^{''} (x)$ er aldri lik null, så det finnes ikke noe vendepunkt — krumningen skifter kun ved den vertikale asymptoten $x = 1$ .

Grafen til $f$ har vertikal asymptote $x = 1$ (grå stiplet linje) og skråasymptote $y = x$ (grå stiplet linje), siden $f (x) = x + \frac{1}{x - 1} \to x$ når $x \to \pm \infty$ . Toppunktet $(0, - 1)$ og bunnpunktet $(2,3)$ er markert med røde punkter, og det opphevbare bruddet i $x = - 1$ (verdi $- \frac{3}{2}$ ) er markert med et hult (grått) punkt.

Graf til f med asymptoter og ekstremalpunkter

Funksjonen $g (x) = f (e^{x})$ er en sammensatt funksjon der $t = e^{x}$ settes inn i $f$ . Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , er $e^{x} = - 1$ aldri mulig, så det eneste kravet til definisjonsmengden kommer fra $e^{x} \neq 1$ , altså $x \neq 0$ — i samsvar med oppgaveteksten.

Med kjerneregelen er

g^{'} (x) = f^{'} (e^{x}) \cdot e^{x}

Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , er $g^{'} (x) = 0$ nøyaktig når $f^{'} (e^{x}) = 0$ , altså når $e^{x} = 0$ eller $e^{x} = 2$ (fra resultatet i b)). Ligningen $e^{x} = 0$ har ingen løsning, mens $e^{x} = 2$ gir

x = \ln 2

Dette er bekreftet med CAS: Løs(gp(x)=0,x) gir kun $x = \ln (2)$ (se utklipp) — kritisk punktet i $f$ som svarer til $t = 0$ (toppunktet) videreføres altså ikke til $g$ , siden $e^{x}$ aldri blir $0$ .

Siden $e^{x}$ er en strengt voksende funksjon, bevares typen ekstremalpunkt: $t = 2$ ga bunnpunkt for $f$ , så $x = \ln 2$ gir bunnpunkt for $g$ . Funksjonsverdien blir

g (\ln 2) = f (e^{\ln 2}) = f (2) = 3

som også bekreftes direkte av CAS (g(ln(2)) = 3, se utklipp).

Grafen til $g$ har derfor ett bunnpunkt og ikke noe toppunkt:

(\ln 2, 3)

CAS-utregning av g, g' og kritisk punkt Funksjonsverdi g(ln 2)

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2007, del 2, oppgave 4-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Grenseverdi, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon

Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer