Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En funksjon $f$ er definert ved

f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} \,, \quad x \neq -1 \text{ og } x \neq 1

Undersøk ved regning om grenseverdiene $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x)$ og $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ eksisterer.

Forklar hvorfor grafen til $f$ bare har én vertikal asymptote. Finn ligningen for den vertikale asymptoten til grafen.

Vis ved regning at

f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^2}

Bruk den deriverte til å finne koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem $f''(x)$ ved regning. Bruk den andrederiverte til å avgjøre hvor grafen til $f$ vender den hule siden opp og hvor grafen vender den hule siden ned.

Tegn grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = f\!\left(e^x\right) = \frac{e^{3x} + 1}{e^{2x} - 1} \,, \quad x \neq 0

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Grenseverdi, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjoner

Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Sync på tvers av enheter

Rasjonal funksjon med asymptote og komposisjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave