Radioaktiv masse og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved radioaktiv stråling minker massen til et radioaktivt stoff med en vekstfart som til enhver tid er proporsjonal med massen som er igjen av det radioaktive stoffet.

La $M (t)$ være massen til det radioaktive stoffet $t$ timer etter et gitt tidspunkt.

For hånd

Begrunn at differensiallikningen $M^{'} = k \cdot M$ beskriver situasjonen. Forklar hvorfor $k < 0$ .

Ved tida $t = 0$ timer var massen til det radioaktive stoffet 100 mg. Ved $t = 6$ timer var massen til det radioaktive stoffet 97 mg.

Kalkulator

Bestem funksjonsuttrykket $M (t)$ .

Kalkulator

Hvor lang tid vil det ta før massen til det radioaktive stoffet er 2 mg?

Dette radioaktive stoffet vurderes ikke helsefarlig dersom massen minker med mindre enn $0,2$ mg per time.

Kalkulator

Hvor lang tid går det før dette stoffet ikke lenger vurderes som helsefarlig?

Fasit

Se begrunnelse i løsningsforslaget.

$M (t) = 100 \cdot e^{- 0,00508 t}$

$t \approx 770,6 timer$

$t \approx 183,5 timer$

LøsningsforslagKI-generert

Ved radioaktiv stråling minker massen med en vekstfart som til enhver tid er proporsjonal med massen som er igjen. Det betyr nettopp at den momentane endringen $M^{'} (t)$ er proporsjonal med $M (t)$ , altså

M^{'} (t) = k \cdot M (t)

der $k$ er proporsjonalitetskonstanten.

Massen $M (t)$ er alltid positiv (det finnes fortsatt stoff igjen), mens massen hele tiden minker, altså er $M^{'} (t) < 0$ for alle $t$ . Siden $M (t) > 0$ , må $k < 0$ for at produktet $k \cdot M (t)$ skal være negativt.

Differensiallikningen $M^{'} (t) = k \cdot M (t)$ har generell løsning

M (t) = C \cdot e^{k t}

Ved $t = 0$ er $M (0) = 100$ , som gir $C = 100$ :

M (t) = 100 \cdot e^{k t}

Ved $t = 6$ er $M (6) = 97$ :

100 \cdot e^{6 k} = 97 \Rightarrow k = \frac{\ln (0,97)}{6} \approx - 0,00508

Løst i GeoGebra CAS (se k og M(t) i utklippet):

Radioaktiv masse - CAS

Dette gir funksjonsuttrykket

M (t) = 100 \cdot e^{- 0,00508 t}

Vi løser $M (t) = 2$ med CAS (se linje 3 i utklippet over):

100 \cdot e^{- 0,00508 t} = 2 \Rightarrow t \approx 770,6

Det tar altså

t \approx 770,6 timer (\approx 32 dager)

før massen er nede i 2 mg.

Endringsraten er

M^{'} (t) = k \cdot M (t) = - 0,00508 \cdot 100 \cdot e^{- 0,00508 t}

Siden $k < 0$ er $M^{'} (t) < 0$ , så $| M^{'} (t) | = - M^{'} (t)$ . Vi løser $| M^{'} (t) | = 0,2$ med CAS (se linje 4 i utklippet over):

- (- 0,00508) \cdot 100 \cdot e^{- 0,00508 t} = 0,2 \Rightarrow t \approx 183,5

Fordi $| M^{'} (t) |$ er en avtakende funksjon av $t$ (raten avtar etter hvert som massen minker), er $| M^{'} (t) | < 0,2$ for alle $t$ større enn dette. Stoffet regnes derfor ikke lenger som helsefarlig etter

t \approx 183,5 timer (\approx 7,6 dager)

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon

Radioaktiv masse og differensiallikning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Radioaktiv masse og differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Radioaktiv masse og differensiallikning

Radioaktiv masse og differensiallikning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer