Punktet $D$ ligger i $xy$-planet, og vektoren $\overrightarrow{AB}$ peker langs den positive $x$-aksen. Siden $\angle BAD=135°$, danner $\overrightarrow{AD}$ en vinkel på $135°$ med $x$-aksen. Da kan $\overrightarrow{AD}$ skrives ved hjelp av lengden og vinkelen:

Siden $\cos (135°)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ og $\sin (135°)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, får vi

Siden $A=(\mathrm{0,0,0})$, blir $D=A+\overrightarrow{AD}=(-4,4,0)$, som skulle vises. Se rad 1 i CAS-utklippet.

Vi har $\overrightarrow{AB}=B-A=(\mathrm{4,0,0})$ og fra a) $\overrightarrow{AD}=(-\mathrm{4,4,0})$. Da er

Punktet $C$ finner vi ved $C=B+\overrightarrow{BC}$:

som skulle vises. Se rad 2 i CAS-utklippet.

Planet $\alpha$ går gjennom $B(\mathrm{4,0,0})$, $D(-\mathrm{4,4,0})$ og $T(\mathrm{0,0,4})$. En normalvektor til planet finner vi ved kryssproduktet av to vektorer i planet, for eksempel

Vi kan forkorte normalvektoren til $(1,2,1)$. Likningen for planet gjennom $B(\mathrm{4,0,0})$ med normalvektor $(\mathrm{1,2,1})$ blir

Vi kontrollerer at alle tre punktene ligger i planet (rad 3–5 i CAS-utklippet):

Alle tre likningene gir $0$, så $x+2y+z-4=0$ er likningen for $\alpha$, som skulle vises.

Pyramidene $ABDT$ og $CBDT$ har samme grunnflate, trekanten $BDT$, som ligger i planet $\alpha$. Volumet av en pyramide er ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h$, der $G$ er grunnflaten og $h$ er høyden fra toppunktet ned til planet som grunnflaten ligger i. Siden $ABDT$ og $CBDT$ har samme grunnflate $BDT$, blir forholdet mellom volumene lik forholdet mellom avstandene fra henholdsvis $A$ og $C$ til planet $\alpha$:

Avstanden fra et punkt $(x_0,y_0,z_0)$ til planet $x+2y+z-4=0$ er gitt ved

For $A(\mathrm{0,0,0})$ (rad 6 i CAS-utklippet):

For $C(\mathrm{2,4,0})$ (rad 7 i CAS-utklippet):

Dermed blir forholdet mellom volumene