Punkt i kvadrat og areal av to trekanter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvadrat ABCD med punkt P inne i kvadratet

Firkanten $A B C D$ er et kvadrat med side $a$ . Punktet $P$ er plassert vilkårlig inne i kvadratet. Høyden i $△ A B P$ kaller vi $h$ .

For hånd

Finn arealene av $△ A B P$ og $△ P C D$ uttrykt ved $a$ og $h$ .

For hånd

Finn et uttrykk for summen av arealene til $△ A B P$ og $△ P C D$ . Beskriv hva du har funnet.

Fasit

$T_{A B P} = \frac{1}{2} a h$ og $T_{P C D} = \frac{1}{2} a (a - h)$

$T_{A B P} + T_{P C D} = \frac{1}{2} a^{2}$ , konstant og uavhengig av $P$

LøsningsforslagKI-generert

I $△ A B P$ er grunnlinjen $A B = a$ , og høyden ned til $P$ er oppgitt til $h$ . Da er arealet

T_{A B P} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

Siden $A B C D$ er et kvadrat med side $a$ , er $A B$ og $D C$ parallelle sider med avstand $a$ mellom seg. Høyden fra $P$ ned til $A B$ er $h$ , og dermed er avstanden fra $P$ opp til $D C$ lik $a - h$ . I $△ P C D$ er grunnlinjen $D C = a$ , så arealet blir

T_{P C D} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a - h)

Summen av arealene er

T_{A B P} + T_{P C D} = \frac{1}{2} a h + \frac{1}{2} a (a - h)

GeoGebra CAS forenkler dette uttrykket, se Sum i utklippet:

Utregning i GeoGebra CAS

T_{A B P} + T_{P C D} = \frac{1}{2} a^{2}

Leddet med $h$ faller bort, så summen av arealene til $△ A B P$ og $△ P C D$ er uavhengig av $h$ , altså uavhengig av hvor $P$ er plassert inne i kvadratet. Summen er alltid lik halvparten av arealet til kvadratet $A B C D$ , uansett hvor $P$ ligger.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2010, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Areal og omkrets, Geometri, Argumentasjon

Punkt i kvadrat og areal av to trekanter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Punkt i kvadrat og areal av to trekanter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Punkt i kvadrat og areal av to trekanter

Punkt i kvadrat og areal av to trekanter

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer