Puls i skirenn modellert med tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ole har deltatt i et skirenn. Funksjonen $P$ gitt ved

P (x) = 0,001 x^{3} - 0,09 x^{2} + 2,4 x + 74, x \in [0, 50]

viser pulsen hans som prosent av makspuls $x$ minutter etter starten av skirennet.

Krever PC

Tegn grafen til $P$ .

Krever PC

Hvor mange minutter var pulsen til Ole høyere enn $92 %$ av makspuls?

Kalkulator

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $P$ når $x = 5$ . Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$20 m i n u t t e r$

$P^{'} (5) = 1,575$ — pulsen øker med ca. $1,575$ prosentpoeng av makspuls per minutt ved $x = 5$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $P$ på $[0, 50]$ med graftegner:

P (x) = 0,001 x^{3} - 0,09 x^{2} + 2,4 x + 74

Grafen til P(x) med grenselinjen y = 92

Vi skal finne hvor mange minutter $P (x) > 92$ . Vi legger inn linjen $y = 92$ og finner skjæringspunktene med $P$ i graftegneren (se figuren i a).

Skjæringspunktene har $x$ -verdiene

x_{1} \approx 12,68, x_{2} = 30, x_{3} \approx 47,32

Av grafen ser vi at $P (x) > 92$ på to atskilte intervall:

mellom $x_{1} \approx 12,68$ og $x_{2} = 30$
mellom $x_{3} \approx 47,32$ og $x = 50$ (høyre endepunkt av definisjonsmengden)

Lengden av disse intervallene er

\begin{matrix} Δ t_{1} & = 30 - 12,68 \approx 17,32 \\ Δ t_{2} & = 50 - 47,32 \approx 2,68 \end{matrix}

Total tid med puls høyere enn $92 %$ av makspuls:

Δ t_{1} + Δ t_{2} \approx 17,32 + 2,68 = 20,00

Pulsen til Ole var høyere enn $92 %$ av makspuls i $20 m i n u t t e r$ av skirennet.

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte $P^{'} (x)$ i $x = 5$ . Vi deriverer:

P^{'} (x) = 0,003 x^{2} - 0,18 x + 2,4

Vi setter inn $x = 5$ :

\begin{matrix} P^{'} (5) & = 0,003 \cdot 5^{2} - 0,18 \cdot 5 + 2,4 \\ = 0,075 - 0,9 + 2,4 \\ = 1,575 \end{matrix}

$P^{'} (5) = 1,575$

Dette betyr at $5$ minutter etter start øker pulsen til Ole med ca. $1,575$ prosentpoeng av makspuls per minutt.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2020, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Modellering, Derivasjon, Vekstfart, Tredjegradsfunksjon

Innstillinger