Ptolemaios setning for rektangel og likesidet trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

La $A$ , $B$ , $C$ og $D$ være fire punkter på en sirkel. Se figuren nedenfor.

Firkant ABCD med hjørnene på en sirkel

Ptolemaios (ca. år 100 e.Kr.) var både matematiker og astronom.

Ptolemaios fant ut at

A C \cdot B D = A B \cdot C D + A D \cdot B C

Denne sammenhengen kalles Ptolemaios’ setning.

I denne oppgaven skal du bruke Ptolemaios’ setning i to tilfeller.

For hånd

Tegn figuren ovenfor i det tilfellet der firkanten $A B C D$ er et rektangel. La sidekantene ha lengde $a$ og $b$ , og la diagonalene ha lengde $c$ . Skriv ned Ptolemaios’ setning for dette tilfellet. Du har nå kommet fram til en annen og mer berømt setning. Hvilken?

La nå $A$ , $B$ og $C$ være hjørner i en likesidet trekant som er innskrevet i en sirkel, og la $P$ være et punkt på sirkelbuen mellom $A$ og $B$ som vist på figuren nedenfor.

Likesidet trekant ABC innskrevet i en sirkel, med punktet P på buen mellom A og B

For hånd

Skriv ned Ptolemaios’ setning for dette tilfellet og vis at $P C = P A + P B$ .

Fasit

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , som er Pytagoras’ setning.

$P C = P A + P B$ (vist).

LøsningsforslagKI-generert

Et rektangel kan alltid tegnes innskrevet i en sirkel, siden alle fire hjørnevinklene er $90 °$ og dermed ligger på en sirkel med diagonalen som diameter.

La rektangelet $A B C D$ ha sidekanter $A B = C D = a$ og $B C = A D = b$ . I et rektangel er diagonalene like lange, så $A C = B D = c$ .

Vi setter dette inn i Ptolemaios’ setning:

\begin{matrix} A C \cdot B D & = A B \cdot C D + A D \cdot B C \\ c \cdot c & = a \cdot a + b \cdot b \\ c^{2} & = a^{2} + b^{2} \end{matrix}

Dette kjenner vi igjen som $Pytagoras’ setning$ : kvadratet på diagonalen (hypotenusen i en av de to rettvinklede trekantene rektangelet deles i) er lik summen av kvadratene på sidekantene.

Siden $P$ ligger på sirkelbuen mellom $A$ og $B$ (motsatt av $C$ ), kommer punktene i rekkefølgen $A$ , $P$ , $B$ , $C$ rundt sirkelen. Firkanten $A P B C$ har da diagonalene $A B$ og $P C$ , og sidekantene $A P$ , $P B$ , $B C$ og $C A$ .

Ptolemaios’ setning for firkanten $A P B C$ gir:

A B \cdot P C = A P \cdot B C + P B \cdot C A

Siden trekant $A B C$ er likesidet, er $A B = B C = C A$ . Vi kaller denne felles sidelengden $s$ og setter inn:

\begin{matrix} s \cdot P C & = A P \cdot s + P B \cdot s \\ s \cdot P C & = s \cdot (A P + P B) \end{matrix}

Vi deler begge sider på $s$ (som er forskjellig fra null):

P C = A P + P B

Siden $A P = P A$ og $P B$ er de samme strekningene, har vi dermed vist at

P C = P A + P B

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2011, del 2, oppgave 8
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Sirkel, Pytagoras, Bevis

Ptolemaios setning for rektangel og likesidet trekant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ptolemaios setning for rektangel og likesidet trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ptolemaios setning for rektangel og likesidet trekant

Ptolemaios setning for rektangel og likesidet trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer