Primtall som differanse mellom kvadrattall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal vi undersøke påstanden:

Alle primtall som er større enn 2, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.

For hånd

Skriv av og fyll ut tabellen

Primtall	Naturlige tall		Kvadrattall		Differanse
$p$	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{1}^{2}$	$n_{2}^{2}$	$n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$
3	2	1	$2^{2}$	$1^{2}$	3
5	3	2	$3^{2}$	$2^{2}$	5
7	4	3	$4^{2}$	$3^{2}$	7
11	6	5	$6^{2}$	$5^{2}$	11
13
17
19

I tabellen er $p$ primtall, og $n_{1}$ og $n_{2}$ er naturlige tall, slik at:

n_{1} + n_{2} = p

n_{1} - n_{2} = 1

For hånd

Vis at vi kan skrive: $n_{1} = \frac{p + 1}{2}$ og $n_{2} = \frac{p - 1}{2}$

For hånd

Bevis at påstanden i ruten ovenfor er riktig.

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget

$n_{1} = \frac{p + 1}{2}, n_{2} = \frac{p - 1}{2}$

$n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = p$ for alle primtall $p > 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker $n_{1} = \frac{p + 1}{2}$ og $n_{2} = \frac{p - 1}{2}$ (se b) for utledning) og fyller ut resten av tabellen:

Primtall	Naturlige tall		Kvadrattall		Differanse
$p$	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{1}^{2}$	$n_{2}^{2}$	$n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$
3	2	1	$2^{2}$	$1^{2}$	3
5	3	2	$3^{2}$	$2^{2}$	5
7	4	3	$4^{2}$	$3^{2}$	7
11	6	5	$6^{2}$	$5^{2}$	11
13	7	6	$7^{2}$	$6^{2}$	13
17	9	8	$9^{2}$	$8^{2}$	17
19	10	9	$10^{2}$	$9^{2}$	19

Vi har likningssystemet

n_{1} + n_{2} = p

n_{1} - n_{2} = 1

Legger vi sammen de to likningene, faller $n_{2}$ bort:

2 n_{1} = p + 1 \Rightarrow n_{1} = \frac{p + 1}{2}

Trekker vi den andre likningen fra den første, faller $n_{1}$ bort:

2 n_{2} = p - 1 \Rightarrow n_{2} = \frac{p - 1}{2}

Vi skal bevise påstanden: Alle primtall $p > 2$ kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Siden $p$ er et primtall større enn $2$ , er $p$ oddetall. Dermed er $p + 1$ og $p - 1$ begge partall, og

n_{1} = \frac{p + 1}{2}, n_{2} = \frac{p - 1}{2}

er naturlige tall.

Vi bruker konjugatsetningen på differansen mellom kvadratene:

n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = (n_{1} - n_{2}) (n_{1} + n_{2})

Fra b) vet vi at $n_{1} - n_{2} = 1$ og $n_{1} + n_{2} = p$ . Setter vi inn dette, får vi

n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = 1 \cdot p = p

Dette viser at ethvert primtall $p > 2$ kan skrives som differansen $n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$ mellom to kvadrattall, der $n_{1} = \frac{p + 1}{2}$ og $n_{2} = \frac{p - 1}{2}$ . Dermed er

n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = p

og påstanden er bevist.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Påstanden i oppgaven gjelder for alle oddetall, men i denne oppgaven har vi valgt å fokusere bare på primtall. Uttrykkene for $n_{1}$ og $n_{2}$ må vises generelt for å gi uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2011, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Bevis, Algebra

Primtall som differanse mellom kvadrattall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Primtall som differanse mellom kvadrattall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Primtall som differanse mellom kvadrattall

Primtall som differanse mellom kvadrattall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer