Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To småfugler er ute og flyr. Posisjonen til de to fuglene er gitt ved

{\vec{r}}_{1} (t) = [- 10 + 6 t, 35 - 3 t] og {\vec{r}}_{2} (t) = [2 + 5 t, 4 t]

Tiden $t$ er målt i sekunder, og enhetene langs aksene er målt i meter.

Kalkulator

Hvor fort flyr hver av de to småfuglene?

Kalkulator

Hvor stor er avstanden mellom småfuglene når $t = 0$ ?

Kalkulator

På hvilket tidspunkt er småfuglene nærmest hverandre, og hvor langt unna hverandre er de da?

En rovfugl er også ute og flyr og oppdager småfuglene ved tidspunktet $t = 0$ . Posisjonen til rovfuglen de første 6 sekundene er gitt ved

{\vec{r}}_{R} (t) = [7 t - 10, 2 t^{2} - 6 t + 5]

Oppsett for hånd

Gjør nødvendige beregninger og beskriv jakten rovfuglen har på småfuglene.

Fasit

Fugl 1: $3 \sqrt{5} \approx 6,71 m / s$ , fugl 2: $\sqrt{41} \approx 6,40 m / s$

$37 m$

$t = \frac{257}{50} = 5,14 s$ , avstand $\frac{49 \sqrt{2}}{10} \approx 6,93 m$

Rovfuglen er nærmest fugl 2 ved $t \approx 4,53 s$ (avstand $\approx 3,03 m$ ) og nærmest fugl 1 ved $t \approx 4,68 s$ (avstand $\approx 4,69 m$ ). Rovfuglen fanger ingen av fuglene i løpet av de 6 sekundene.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til alle beregningene (se linje-referanser til skjermbildet).

GeoGebra CAS – posisjonsvektorer

Fartsvektor er den deriverte av posisjonsvektoren med hensyn på tid. Siden komponentene er lineære i $t$ , er fartsvektoren konstant:

{\vec{v}}_{1} = {\vec{r}}_{1}^{'} (t) = [6, - 3] {\vec{v}}_{2} = {\vec{r}}_{2}^{'} (t) = [5, 4]

Farten er lengden av fartsvektoren (se linje 5–6 i CAS):

| {\vec{v}}_{1} | = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \approx 𝟔,𝟕𝟏 m / s

| {\vec{v}}_{2} | = \sqrt{5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 𝟔,𝟒𝟎 m / s

Fugl 1 flyr $3 \sqrt{5} \approx 6,71 m / s$ og fugl 2 flyr $\sqrt{41} \approx 6,40 m / s$ .

Ved $t = 0$ er posisjonene:

{\vec{r}}_{1} (0) = [- 10, 35] {\vec{r}}_{2} (0) = [2, 0]

Avstanden er (se linje 7 i CAS):

d (0) = \sqrt{{(2 - (- 10))}^{2} + {(0 - 35)}^{2}} = \sqrt{12^{2} + 35^{2}} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 𝟑𝟕 m

Avstandskvadrat mellom fuglene er (se linje 8 i CAS):

d^{2} (t) = (x_{2} (t) - x_{1} (t))^{2} + (y_{2} (t) - y_{1} (t))^{2}

= ((2 + 5 t) - (- 10 + 6 t))^{2} + (4 t - (35 - 3 t))^{2}

= {(12 - t)}^{2} + {(7 t - 35)}^{2} = 50 t^{2} - 514 t + 1369

Vi finner minimum ved å derivere og sette lik null (se linje 9 i CAS):

\frac{d}{d t} (d^{2} (t)) = 100 t - 514 = 0 ⟹ t = \frac{514}{100} = \frac{257}{50} = 5,14 s

Minste avstand (se linje 10 i CAS):

d (\frac{257}{50}) = \sqrt{50 \cdot {(\frac{257}{50})}^{2} - 514 \cdot \frac{257}{50} + 1369} = \frac{49 \sqrt{2}}{10} \approx 𝟔,𝟗𝟑 m

Småfuglene er nærmest hverandre ved $t = 5,14 s$ , med en avstand på $\frac{49 \sqrt{2}}{10} \approx 6,93 m$ .

Avstand mellom rovfuglen og hver av småfuglene beregnes ved å trekke fra posisjonskomponentene. Differansevektoren ${\vec{r}}_{R} (t) - {\vec{r}}_{1} (t)$ :

x_{R} - x_{1} = (7 t - 10) - (- 10 + 6 t) = t

y_{R} - y_{1} = (2 t^{2} - 6 t + 5) - (35 - 3 t) = 2 t^{2} - 3 t - 30

Dermed (se linje 11 i CAS):

d_{R 1} (t) = \sqrt{t^{2} + {(2 t^{2} - 3 t - 30)}^{2}}

Differansevektoren ${\vec{r}}_{R} (t) - {\vec{r}}_{2} (t)$ :

x_{R} - x_{2} = (7 t - 10) - (2 + 5 t) = 2 t - 12

y_{R} - y_{2} = (2 t^{2} - 6 t + 5) - 4 t = 2 t^{2} - 10 t + 5

Dermed (se linje 12 i CAS):

d_{R 2} (t) = \sqrt{{(2 t - 12)}^{2} + {(2 t^{2} - 10 t + 5)}^{2}}

Minimering over intervallet $[0, 6]$ (se linje 13–14 i CAS):

$d_{R 1}$ har minimum ved $t \approx 4,68 s$ med avstand $\approx 4,69 m$
$d_{R 2}$ har minimum ved $t \approx 4,53 s$ med avstand $\approx 3,03 m$

Beskrivelse av jakten: Rovfuglen starter ved $(- 10, 5)$ ved $t = 0$ , omtrent 30 m fra fugl 1 og 13 m fra fugl 2. De første 4 sekundene nærmer rovfuglen seg begge fuglene. Rundt $t \approx 4,53 s$ er rovfuglen nærmest fugl 2, med bare $\approx 3,03 m$ avstand. Kort etter, ved $t \approx 4,68 s$ , er rovfuglen nærmest fugl 1 med $\approx 4,69 m$ avstand. Deretter øker avstandene raskt. Rovfuglen fanger ingen av fuglene i løpet av de 6 sekundene (avstanden når aldri 0).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

1 poeng for å finne fartsvektorene og 1 poeng for finne verdiene.

Kandidater som finner farten til én av småfuglene kan få 1 poeng.

Svar uten benevning kan gi full uttelling, men er en del av helhetsvurderingen.

Kandidater som kun finner riktig vektor, kan få 1 poeng.

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å finne avstanden.

For å få full uttelling må kandidaten kommentere krysningspunktene mellom rovfuglen sin bane og småfuglene sin bane. De må også knytte dette til parameteren t.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2024, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer