Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når grafen til en polynomfunksjon tangerer $x$ -aksen i $x = a$ , har funksjonen minst to like (sammenfallende) nullpunkter i $x = a$ .

Tre grafer med tangering til x-aksen

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist på figur 1. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = 2$ .

For hånd

Forklar at $f (x) = 2 \cdot {(x - 2)}^{2}$

Grafen til en tredjegradsfunksjon $g$ er vist på figur 2. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = 3$ .

For hånd

Forklar at funksjonsuttrykket til $g$ kan skrives på formen $g (x) = k \cdot {(x - 3)}^{2} \cdot (x + 1)$ . Bestem $k$ .

Grafen til en fjerdegradsfunksjon $h$ er vist på figur 3. Grafen tangerer $x$ -aksen i $x = - 2$ og i $x = 2$ .

For hånd

Bestem funksjonsuttrykket $h (x)$ .

Fasit

$f (x) = 2 {(x - 2)}^{2}$ (vist)

$k = 1$

$h (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f$ tangerer $x$ -aksen i $x = 2$ . Det betyr at $f$ har et dobbelt nullpunkt i $x = 2$ , altså at ${(x - 2)}^{2}$ er en faktor i funksjonsuttrykket. Siden $f$ er en andregradsfunksjon, må uttrykket derfor være på formen

f (x) = a \cdot {(x - 2)}^{2}

Fra grafen ser vi at $f$ skjærer $y$ -aksen i $y = 8$ , altså $f (0) = 8$ . Setter vi inn $x = 0$ :

a \cdot {(0 - 2)}^{2} = 8 \Rightarrow 4 a = 8 \Rightarrow a = 2

Dermed er $f (x) = 2 {(x - 2)}^{2}$ , som stemmer med grafen i Figur 1.

Grafen til $g$ tangerer $x$ -aksen i $x = 3$ , som betyr at $x = 3$ er et dobbelt nullpunkt, altså at ${(x - 3)}^{2}$ er en faktor. I tillegg ser vi av grafen at $g$ krysser $x$ -aksen (vanlig nullpunkt, ikke tangering) i $x = - 1$ , som gir faktoren $(x + 1)$ . Siden $g$ er en tredjegradsfunksjon, er dette de eneste nullpunktene, og funksjonsuttrykket må derfor være på formen

g (x) = k \cdot {(x - 3)}^{2} \cdot (x + 1)

Fra grafen leser vi av at $g$ skjærer $y$ -aksen i $y = 9$ , altså $g (0) = 9$ :

k \cdot {(0 - 3)}^{2} \cdot (0 + 1) = 9 \Rightarrow 9 k = 9 \Rightarrow k = 1

Dermed er $g (x) = {(x - 3)}^{2} (x + 1)$ , og $k = 1$ .

Grafen til $h$ tangerer $x$ -aksen både i $x = - 2$ og $x = 2$ . Dette gir to doble nullpunkter, som svarer til faktorene ${(x + 2)}^{2}$ og ${(x - 2)}^{2}$ . Siden $h$ er en fjerdegradsfunksjon, dekker disse to doble nullpunktene hele graden, og funksjonsuttrykket må være på formen

h (x) = a \cdot {(x + 2)}^{2} \cdot {(x - 2)}^{2}

Fra grafen leser vi av at $h$ skjærer $y$ -aksen i $y = 8$ , altså $h (0) = 8$ :

a \cdot {(0 + 2)}^{2} \cdot {(0 - 2)}^{2} = 8 \Rightarrow 16 a = 8 \Rightarrow a = \frac{1}{2}

Dermed er

h (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}

Kontroll i GeoGebra: Vi plotter $f$ , $g$ og $h$ sammen og markerer skjæringen med $y$ -aksen for hver funksjon.

Kontroll av f, g og h i GeoGebra

Grafene bekrefter at $f (0) = 8$ , $g (0) = 9$ og $h (0) = 8$ , og at $f$ tangerer i $x = 2$ , $g$ tangerer i $x = 3$ (og krysser i $x = - 1$ ), og $h$ tangerer i både $x = - 2$ og $x = 2$ — akkurat som i figurene i oppgaveteksten.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2013, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Funksjoner

Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen

Polynomfunksjoner med tangering til x-aksen

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer