Fortegnet til $f^{\prime }$ forteller hvordan $f$ vokser og avtar: der $f^{\prime }(x)>0$ er $f$ voksende, der $f^{\prime }(x)<0$ er $f$ avtagende.

Av grafen ser vi at $f^{\prime }(x)<0$ for $x<1$, at $f^{\prime }(x)>0$ for $1<x<3$, og at $f^{\prime }(x)<0$ for $x>3$.

Dermed er

Topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ finnes der $f^{\prime }(x)=0$ og $f^{\prime }$ skifter fortegn.

Grafen til $f^{\prime }$ har nullpunkter i $x=1$ og $x=3$.

• I $x=1$ går $f^{\prime }$ fra negativ til positiv, så $f$ har et bunnpunkt for $x=1$.
• I $x=3$ går $f^{\prime }$ fra positiv til negativ, så $f$ har et toppunkt for $x=3$.

Et vendepunkt på grafen til $f$ finnes der $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn, altså der $f^{\prime }$ har et ekstremalpunkt (topp- eller bunnpunkt). Grafen til $f^{\prime }$ har toppunkt for $x=2$ (der $f^{\prime }(2)=1$), så $f$ har et vendepunkt for $x=2$.

Grafen til $f^{\prime }$ er en parabel (graf til en andregradsfunksjon) med nullpunkter i $x=1$ og $x=3$. Da kan $f^{\prime }$ skrives på faktorisert form

Av grafen ser vi at toppunktet til parabelen er $(2,1)$. Vi setter $x=2$ inn og krever $f^{\prime }(2)=1$:

Dermed er

Kontroll: $f^{\prime }(0)=-3$, som stemmer med grafen (kurven skjærer $f^{\prime }$-aksen i $-3$).

Siden $f^{\prime }(x)=-x^2+4x-3$, finner vi $f$ ved antiderivasjon (integrasjon):

Siden grafen til $f$ går gjennom origo, er $f(0)=0$. Vi setter $x=0$ inn:

Dermed er $C=0$, og

Dette er bekreftet i CAS ved å integrere $f^{\prime }$ og derivere resultatet tilbake:

Graf til $f$ for $x\in ⟨0,4⟩$:

Fra b) vet vi at $f$ har bunnpunkt for $x=1$, vendepunkt for $x=2$ og toppunkt for $x=3$. Vi setter inn i uttrykket for $f$ og finner

Grafen er tegnet i GeoGebra, med bunn- og toppunkt markert i rødt og vendepunktet i blått: