Polynomdivisjon og ulikhet for kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

Vis at divisjonen $P (x) : (x - 1)$ går opp, uten å utføre divisjonen.

Utfør polynomdivisjonen og løs ulikheten $P (x) \geq 0$ .

Fasit

$P (1) = 0$ , altså går divisjonen opp

$x \in [1, 2] \cup [3, \to ⟩$

LøsningsforslagKI-generert

Ifølge faktorsetningen er $(x - a)$ en divisor i $P (x)$ hvis og bare hvis $P (a) = 0$ . Vi setter $x = 1$ inn i $P (x)$ uten å utføre divisjonen:

P (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

Siden $P (1) = 0$ , er $(x - 1)$ en divisor i $P (x)$ , og divisjonen $P (x) : (x - 1)$ går derfor opp.

Vi utfører polynomdivisjonen $P (x) : (x - 1)$ :

x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 : (x - 1) = x^{2} - 5 x + 6

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^{2} - 5 x + 6$ . Vi trenger to tall som ganger gir $6$ og summert gir $- 5$ , det vil si $- 2$ og $- 3$ :

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Dermed er

P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)

Nullpunktene til $P$ er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ . Vi setter opp en fortegnslinje for de tre faktorene:

Fortegnslinje for P(x)

Vi ser at $P (x) \geq 0$ når $x \in [1, 2]$ eller $x \geq 3$ . Løsningen er dermed

x \in [1, 2] \cup [3, \to ⟩

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2013, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Ulikheter, Faktorisering

Innstillinger