Polynomdivisjon og faktorisering med parameter k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + k x + 3

Bestem $k$ slik at divisjonen $f (x) : (x - 3)$ går opp.

Bruk polynomdivisjon til å skrive $f (x)$ som et produkt av lineære faktorer (førstegradsfaktorer) når $k$ har verdien du fant i oppgave 2 a).

Fasit

$k = - 1$

$f (x) = (x - 3) (x - 1) (x + 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Divisjonen $f (x) : (x - 3)$ går opp når $x = 3$ er et nullpunkt for $f$ , altså når $f (3) = 0$ .

f (3) = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 3 k + 3 = 27 - 27 + 3 k + 3 = 3 k + 3

3 k + 3 = 0 \Rightarrow k = - 1

Med $k = - 1$ blir

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3

Vi utfører polynomdivisjonen $f (x) : (x - 3)$ :

\begin{matrix} (x^{3} - 3 x^{2} - 1 x + 3 & ) : (x - 3) = x^{2} - 1 \\ x^{3} - 3 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 1 x + 3 \\ - 1 x + 3 \\ 0 \end{matrix}

Dermed er $f (x) = (x - 3) (x^{2} - 1)$ . Vi faktoriserer videre ved konjugatsetningen, $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ :

f (x) = (x - 3) (x - 1) (x + 1)

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2012, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger

Innstillinger