Plan og tangerende kuleflate R2 V26

Et plan $α$ er gitt ved likningen

2 x - 5 y + 4 z = - 4

Punktene $A (1, 2, 1)$ , $B (2, 0, - 2)$ og $C (- 1, 2, 2)$ ligger i planet.

Avgjør om punktet $D (3, 1, - 1)$ ligger i planet $α$ .

Bruk kryssprodukt til å vise at $[2, - 5, 4]$ er en normalvektor til planet.

En kule tangerer planet $α$ i et punkt $P$ .

Kuleflaten er gitt ved likningen

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 18 y + 2 z + k = 0

Vis at punktet $(0, 9, - 1)$ er sentrum i kulen.

Bestem en parameterframstilling for linjen som går gjennom sentrum i kulen og punktet $P$ .

Bestem konstanten $k$ i likningen for kuleflaten.

Fasit

$D$ ligger ikke i planet $α$ .

$\vec{A B} \times \vec{A C} = [- 2, 5, - 4] = - 1 \cdot [2, - 5, 4]$ , altså parallell med $[2, - 5,4]$ .

Kvadratkomplettering gir sentrum $S (0, 9, - 1)$ .

Parameterframstilling: $(x, y, z) = (2 t, 9 - 5 t, - 1 + 4 t)$

$k = 37$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter koordinatene til $D (3, 1, - 1)$ inn i venstresiden av planlikningen $2 x - 5 y + 4 z = - 4$ :

2 \cdot 3 - 5 \cdot 1 + 4 \cdot (- 1) = 6 - 5 - 4 = - 3

Siden $- 3 \neq - 4$ tilfredsstiller ikke $D$ planlikningen.

$D$ ligger ikke i planet $α$ .

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} = B - A = (2 - 1, 0 - 2, - 2 - 1) = [1, - 2, - 3]

\vec{A C} = C - A = (- 1 - 1, 2 - 2, 2 - 1) = [- 2, 0, 1]

Vi beregner kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ :

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ 1 & - 2 & - 3 \\ - 2 & 0 & 1 \end{matrix} |

= 𝐢 ((- 2) \cdot 1 - (- 3) \cdot 0) - 𝐣 (1 \cdot 1 - (- 3) \cdot (- 2)) + 𝐤 (1 \cdot 0 - (- 2) \cdot (- 2))

= 𝐢 (- 2 - 0) - 𝐣 (1 - 6) + 𝐤 (0 - 4)

= [- 2, 5, - 4]

Vi ser at $[- 2, 5, - 4] = - 1 \cdot [2, - 5, 4]$ .

Siden $[- 2, 5, - 4]$ er parallell med $[2, - 5, 4]$ , og kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ er normalvektor til planet, er $[2, - 5, 4]$ en normalvektor til planet $α$ .

Vi skal vise at $(0, 9, - 1)$ er sentrum ved å skrive kuleflatelikningen på standardform. Vi kvadratkompleterer leddene med $y$ og $z$ :

x^{2} + y^{2} - 18 y + z^{2} + 2 z + k = 0

x^{2} + (y^{2} - 18 y + 81 - 81) + (z^{2} + 2 z + 1 - 1) + k = 0

x^{2} + {(y - 9)}^{2} - 81 + {(z + 1)}^{2} - 1 + k = 0

x^{2} + {(y - 9)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 82 - k

Dette er likningen for en kule med sentrum $S (0, 9, - 1)$ og $r^{2} = 82 - k$ .

Kulesentrumet er $S (0, 9, - 1)$ . Siden kulen tangerer planet $α$ i punktet $P$ , ligger linjen $S P$ vinkelrett på planet. Normalvektoren til $α$ er $\vec{n} = [2, - 5, 4]$ , så linjen $S P$ er parallell med $\vec{n}$ .

En parameterframstilling for linjen gjennom $S$ med retningsvektor $[2, - 5, 4]$ er:

(x, y, z) = (0 + 2 t, 9 - 5 t, - 1 + 4 t) t \in ℝ

Siden kulen tangerer planet $α$ , er radius lik avstanden fra sentrum $S (0, 9, - 1)$ til planet $α$ : $2 x - 5 y + 4 z + 4 = 0$ .

Vi bruker avstandsformelen for punkt til plan:

r = \frac{| 2 \cdot 0 - 5 \cdot 9 + 4 \cdot (- 1) + 4 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 5)}^{2} + 4^{2}}} = \frac{| 0 - 45 - 4 + 4 |}{\sqrt{4 + 25 + 16}} = \frac{| - 45 |}{\sqrt{45}} = \frac{45}{\sqrt{45}} = \sqrt{45}

Altså er $r^{2} = 45$ .

Fra standardformen i c) har vi $r^{2} = 82 - k$ , så:

82 - k = 45 ⟹ k = 82 - 45 = 37

k = 37

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

Kandidater må undersøke ved regning om punktet ligger i planet for å få uttelling.

Kandidater som finner to vektorer i planet og som viser kompetanse på kryssprodukt uten å komme helt i mål, kan få 1 poeng. For å få full uttelling, må kandidaten sammenligne kryssproduktet med normalvektoren til planet.

Kandidaten må ta utgangspunkt i den generelle kulelikningen og sammenligne med den gitte likningen for å få uttelling.

Kandidater som bruker andre vektorer enn normalvektorer til planet, får ikke uttelling.

Kandidater som finner radius til kula kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Plan og tangerende kuleflate R2 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Plan og tangerende kuleflate R2 V26

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Plan og tangerende kuleflate R2 V26

Plan og tangerende kuleflate R2 V26

Lov på eksamen

Temaer