Plan og linje i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Planet $α$ er gitt ved

α : 2 x + y - 2 z + 3 = 0

Vis at punktet $P (3, 4, 2)$ ikke ligger i planet $α$ .

En linje $ℓ$ går gjennom $P$ slik at $ℓ ⟂ α$ .

Bestem en parameterframstilling for $ℓ$ .

Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom $ℓ$ og $α$ .

Bestem avstanden fra $P$ til $α$ .

Fasit

$2 \cdot 3 + 4 - 2 \cdot 2 + 3 = 9 \neq 0$ , så $P$ ligger ikke i $α$

$(x, y, z) = (3, 4, 2) + t (2, 1, - 2)$

$Q (1, 3, 4)$

$d = 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter koordinatene til $P (3, 4, 2)$ inn i likningen for planet $α$ :

2 \cdot 3 + 4 - 2 \cdot 2 + 3 = 6 + 4 - 4 + 3 = 9

Siden $9 \neq 0$ , tilfredsstiller ikke $P$ planlikningen, og punktet $P$ ligger derfor ikke i $α$ .

Planet $α$ har normalvektor $\vec{n} = (2, 1, - 2)$ , avlest direkte fra koeffisientene i planlikningen.

Siden $ℓ ⟂ α$ , må $ℓ$ ha $\vec{n}$ som retningsvektor. Linjen går gjennom $P (3, 4, 2)$ , og en parameterframstilling for $ℓ$ blir

ℓ : {\begin{matrix} x = 3 + 2 t \\ y = 4 + t \\ z = 2 - 2 t \end{matrix}

Vi setter parameterframstillingen for $ℓ$ inn i likningen for $α$ :

2 (3 + 2 t) + (4 + t) - 2 (2 - 2 t) + 3 = 0

6 + 4 t + 4 + t - 4 + 4 t + 3 = 0

9 + 9 t = 0 \Rightarrow t = - 1

Setter $t = - 1$ inn i parameterframstillingen for $ℓ$ :

x = 3 + 2 (- 1) = 1, y = 4 + (- 1) = 3, z = 2 - 2 (- 1) = 4

Skjæringspunktet er $Q (1, 3, 4)$ .

Avstanden fra $P$ til $α$ er lik lengden av vektoren $\vec{P Q}$ , siden $ℓ$ står normalt på $α$ og $Q$ er skjæringspunktet:

\vec{P Q} = Q - P = (1 - 3, 3 - 4, 4 - 2) = (- 2, - 1, 2)

d = | \vec{P Q} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3

Avstanden fra $P$ til $α$ er $3$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2014, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Romgeometri, Plan, Vektorer, Parameterframstilling

Innstillinger