Plan, normalvektor og avstand til punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $α$ er gitt ved likningen

x - 2 y + 2 z + 1 = 0

Vi har gitt punktet $A (4, 2, 2)$ .

Bestem en parameterframstilling for linjen gjennom $A$ som står normalt på planet $α$ .

Bestem avstanden fra $A$ til $α$ .

Fasit

$(x, y, z) = (4 + t, 2 - 2 t, 2 + 2 t), t \in ℝ$

$d = \frac{5}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Planet $α$ er gitt ved $x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ , og vi leser av normalvektoren direkte fra koeffisientene:

\vec{n} = [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}]

Lengden av normalvektoren er

| \vec{n} | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3

En linje normalt på planet $α$ har retning $\vec{n}$ . Linjen gjennom $A (4, 2, 2)$ med retning $\vec{n}$ kan skrives som

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}] + t [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}], t \in ℝ

Det vil si

(𝐱, 𝐲, 𝐳) = (𝟒 + 𝐭, 𝟐 - 𝟐 𝐭, 𝟐 + 𝟐 𝐭), 𝐭 \in ℝ

Avstanden fra et punkt $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ til planet $a x + b y + c z + d = 0$ er gitt ved formelen

D = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

Her er $A (4, 2, 2)$ og planet er $x - 2 y + 2 z + 1 = 0$ , altså $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 2$ , $d = 1$ .

Vi setter inn:

D = \frac{| 1 \cdot 4 + (- 2) \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1 |}{3} = \frac{| 4 - 4 + 4 + 1 |}{3} = \frac{| 5 |}{3} = \frac{𝟓}{𝟑}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten kommunisere hvordan retningsvektoren til linjen er funnet. Dersom kandidaten bruker $\vec{n} = [1, - 2, 2]$ , er det for eksempel nok å kommentere at dette er en normalvektor til planet. Riktig svar uten begrunnelser kan gi 1 poeng.

Kandidater som bruker en strategi som kan gi oss avstanden, men som ikke klarer å gjennomføre strategien, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2023, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Plan, normalvektor og avstand til punkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Plan, normalvektor og avstand til punkt

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Plan, normalvektor og avstand til punkt

Plan, normalvektor og avstand til punkt

Lov på eksamen

Temaer