Plan gjennom tre punkter og tetraedervolum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (0, 6, 6)$ , $B (0, 0, 7)$ og $C (6, 0, 5)$ ligger i planet $α$ .

Bestem likningen til $α$ .

Et punkt $P$ ligger på linjen gjennom punktene $O (0, 0, 0)$ og $A (0, 6, 6)$ .

Bestem mulige koordinater til $P$ slik at volumet av tetraederet $A B C P$ blir 42.

Fasit

$2 x + y + 6 z = 42$

$P = (0, 0, 0) eller P = (0, 12, 12)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner to vektorer som ligger i planet:

\vec{A B} = B - A = (0, - 6, 1) \vec{A C} = C - A = (6, - 6, - 1)

Normalvektoren til planet er kryssproduktet $\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C}$ :

\vec{n} = ((- 6) (- 1) - (1) (- 6), - [(0) (- 1) - (1) (6)], (0) (- 6) - (- 6) (6)) = (12, 6, 36)

Vi kan forenkle normalvektoren ved å dele med $6$ : $\vec{n} = (2, 1, 6)$ . Planlikningen med $A (0,6,6)$ som punkt i planet blir

2 (x - 0) + 1 (y - 6) + 6 (z - 6) = 0

2 x + y + 6 z - 42 = 0

2 x + y + 6 z = 42

Linjen gjennom $O (0,0,0)$ og $A (0,6,6)$ har retningsvektor $\vec{O A} = (0, 6, 6)$ , som kan forenkles til $(0, 1, 1)$ . Et vilkårlig punkt på linjen kan derfor skrives

P = (0, 6 t, 6 t)

Volumet av tetraederet $A B C P$ er gitt ved

V = \frac{1}{6} | \vec{A P} \cdot (\vec{A B} \times \vec{A C}) | = \frac{1}{6} | \vec{A P} \cdot \vec{n} |

der $\vec{n} = (12, 6, 36)$ fra a). Vi finner $\vec{A P}$ :

\vec{A P} = P - A = (0, 6 t - 6, 6 t - 6)

Prikkproduktet blir

\vec{A P} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 12 + (6 t - 6) \cdot 6 + (6 t - 6) \cdot 36 = 42 (6 t - 6)

Dermed er

V = \frac{1}{6} | 42 (6 t - 6) | = 7 | 6 t - 6 |

Vi setter $V = 42$ :

7 | 6 t - 6 | = 42 \Rightarrow | 6 t - 6 | = 6 \Rightarrow 6 t - 6 = \pm 6

Dette gir $t = 0$ eller $t = 2$ . Vi setter inn i uttrykket for $P$ :

t = 0 : P = (0, 0, 0)

t = 2 : P = (0, 12, 12)

Dermed er $P = (0, 0, 0) eller P = (0, 12, 12)$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2014, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan, Volum

Plan gjennom tre punkter og tetraedervolum

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Plan gjennom tre punkter og tetraedervolum

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Plan gjennom tre punkter og tetraedervolum

Plan gjennom tre punkter og tetraedervolum

Lov på eksamen

Temaer