Periodisk modell for månefaser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Månefaser

Tabellen nedenfor viser hvor stor del av månen som var synlig ved midnatt for noen utvalgte døgn på et bestemt sted i et bestemt år.

Døgn nr.	1	2	3	4	5	10	15	20
Synlig del	$0,25$	$0,18$	$0,11$	$0,06$	$0,02$	$0,11$	$0,57$	$0,99$

Døgn nr.	25	30	35	40	45	55	60	65
Synlig del	$0,80$	$0,32$	$0,02$	$0,14$	$0,64$	$0,77$	$0,31$	$0,01$

Her er $x$ antall døgn etter nyttår.

Krever PC

Lag en periodisk funksjon $f$ som er en god modell for dataene ovenfor.

Vi sier det er fullmåne når den synlige delen av månen er størst mulig.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor lang tid går det mellom hver gang det er fullmåne ifølge modellen $f$ ?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvilke døgn var minst halve månen synlig ved midnatt i januar dette året?

Fasit

$f (x) = 0,485 \sin (0,212 x - 2,921) + 0,475$

$T \approx 29,7 døgn$

$Døgn 15–28 i januar$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger de 16 datapunktene $(x, y)$ fra tabellen inn som en liste i GeoGebra, for eksempel

L_{1} = {(1, 0,25), (2, 0,18), \dots, (65, 0,01)}

Siden dataene svinger periodisk mellom en minste og en største synlig andel av månen, er en sinusfunksjon en naturlig modell. Vi bruker kommandoen

𝚁𝚎𝚐𝚛𝚎𝚜𝚓𝚘𝚗𝚜𝚜𝚒𝚗 (L_{1})

i GeoGebra, som tilpasser en funksjon på formen $f (x) = a \sin (b (x - c)) + d$ til datapunktene ved minste kvadraters metode. Dette gir

f (x) = 0,485 \sin (0,2119 (x - 13,78)) + 0,475

som kan skrives om til

f (x) = 0,485 \sin (0,212 x - 2,921) + 0,475

Setter vi grafen til $f$ sammen med datapunktene, ser vi at kurven treffer punktene svært godt — det største avviket (residualet) mellom modellen og et enkelt datapunkt er kun $0,046$ .

Perioden til en sinusfunksjon $f (x) = a \sin (b (x - c)) + d$ er gitt ved

T = \frac{2 π}{b}

Med $b = 0,2119$ fra regresjonen får vi

T = \frac{2 π}{0,2119} \approx 29,7

Det går altså $T \approx 29,7 døgn$ mellom hver gang det er fullmåne ifølge modellen. Dette stemmer godt med at den faktiske månesyklusen (synodisk måned) er ca. $29,5$ døgn, så modellen gir en realistisk beskrivelse av månefasene.

Minst halve månen er synlig når $f (x) \geq 0,5$ . I januar er $x \in [1, 31]$ , så vi løser ulikheten

f (x) \geq 0,5, x \in [1, 31]

grafisk ved å tegne linja $y = 0,5$ sammen med grafen til $f$ og finne skjæringspunktene i GeoGebra. Det gir skjæringspunkter ved

x \approx 14,03 og x \approx 28,36

Grafen til $f$ ligger over linja $y = 0,5$ mellom disse to verdiene, altså for $x \in ⟨ 14,03, 28,36 ⟩$ .

Siden $x$ er antall døgn (hele tall), betyr dette at minst halve månen var synlig ved midnatt fra og med døgn $15$ til og med døgn $28$ — altså i $14 døgn (døgn 15–28) i januar$ .

Figuren under viser hele løsningen i én figur: de 16 datapunktene (åpne sirkler), regresjonskurven $f$ med funksjonsuttrykket, den vannrette linja $y = 0,5$ , og de to skjæringspunktene StartJanuar og SluttJanuar.

Regresjonskurve med datapunkter og skjæringspunktene med y = 0,5

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

c) Med funksjonsuttrykket $f (x) = 0,485 \sin (0,212 x - 2,921) + 0,475$ oppgitt fra a), kan ulikheten $f (x) \geq 0,5$ løses algebraisk. Vi finner først grensepunktene ved å løse likningen $f (x) = 0,5$ :

\begin{matrix} 0,485 \sin (0,212 x - 2,921) + 0,475 & = 0,5 \\ \sin (0,212 x - 2,921) & = \frac{0,025}{0,485} \approx 0,0515 \end{matrix}

Vi tar arcsin og bruker at en sinuslikning $\sin (θ) = k$ har løsningene $θ = \arcsin (k) + n \cdot 2 π$ og $θ = π - \arcsin (k) + n \cdot 2 π$ :

θ = 0,212 x - 2,921 = 0,0516 eller θ = π - 0,0516 \approx 3,0901

Vi løser for $x$ i hvert tilfelle:

x_{1} = \frac{0,0516 + 2,921}{0,212} \approx 14,02 x_{2} = \frac{3,0901 + 2,921}{0,212} \approx 28,35

Begge løsningene ligger i januar ( $x \in [1, 31]$ ). Siden $f$ er positiv mellom de to nullpunktene til $f (x) - 0,5$ (sinusleddet er størst rundt toppunktet mellom $x_{1}$ og $x_{2}$ ), er ulikheten oppfylt for $x \in ⟨ 14,02, 28,35 ⟩$ . Siden $x$ er et helt døgnnummer, betyr dette at minst halve månen var synlig ved midnatt fra og med døgn $15$ til og med døgn $28$ i januar — samme svar som med den grafiske metoden.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2023, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Trigonometri, Modellering, Funksjoner, Likninger

Periodisk modell for månefaser

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Periodisk modell for månefaser

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Periodisk modell for månefaser

Periodisk modell for månefaser

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer