Perfekte tall og amikable tallpar
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Alle deloppgavene kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Vi vil se på summen av alle faktorer som går opp i 12. Vi tar med 1, men ikke tallet 12 selv.
Faktorene til 12 blir da
1, 2, 3, 4 og 6.
Summen av faktorene blir
For tallet 6 får vi på samme måte
Når summen av faktorene er lik tallet selv, sier vi at tallet er perfekt.
Dermed er 6 et perfekt tall, mens 12 ikke er det.
Vis at 28 er et perfekt tall.
Summen av faktorene i 220 er
Finn summen av faktorene i 284.
Fasit
, som gjør og til et amikabelt tallpar
LøsningsforslagKI-generert
Faktorene til , uten å ta med selv, er
Summen av disse er
Siden summen av faktorene er lik tallet selv, er et perfekt tall.
Faktorene til , uten å ta med selv, finner vi ved å primtallsfaktorisere: . Faktorene blir dermed
Summen av disse er
Vi ser at summen av faktorene i er , og summen av faktorene i er . Tallene «peker» altså på hverandre, og og kalles derfor et amikabelt (vennskapelig) tallpar.
Sensorveiledning
Oppgaven gir til sammen 4 poeng
Tallet 284 kan skrives som . Faktorene er dermed 1, 2, 4, 71 og 142, og summen er 220. Kandidater som kommer et stykke på vei, gis noe uttelling. (Tallene 220 og 284 kalles «vennskapelige» da summen av faktorene i det ene tallet er lik det andre tallet og omvendt).