Vi observerer differansene mellom påfølgende pentagontall:

Mønsteret er at $P_n-P_{n-1}=5(n-1)$, altså legger man til $5(n-1)$ kuler for å gå fra figur $n-1$ til figur $n$.

Rekursiv sammenheng:

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a) direkte i et program:

P = 1
for n in range(2, 101):
    P = P + 5*(n-1)
print(P)

Programmet gir $\underline{\underline{P_{100}=24751}}$.

Vi bruker teleskopsummering. Fra den rekursive sammenhengen får vi:

Eksplisitt formel: $\underline{\underline{P_n={\displaystyle \frac{5n^2-5n+2}{2}}}}$

Kontroll: $P_5={\displaystyle \frac{5\cdot 25-25+2}{2}}={\displaystyle \frac{102}{2}}=51$ ✓

Induksjonsbevis

Vi skal bevise at $P_n={\displaystyle \frac{5n^2-5n+2}{2}}$ for alle $n\ge 1$.

Grunntrinn ($n=1$):

Induksjonssteg: Anta at påstanden holder for $n=k$, det vil si at

Vi skal vise at den da også holder for $n=k+1$, altså at $P_{k+1}={\displaystyle \frac{5{(k+1)}^2-5(k+1)+2}{2}}$.

Fra den rekursive sammenhengen i a) har vi $P_{k+1}=P_k+5k$. Vi setter inn induksjonshypotesen:

Vi sjekker at dette stemmer overens med formelen for $n=k+1$:

De to uttrykkene er like, så induksjonssteget er vist. ∎

Ved induksjonsprinsippet gjelder dermed $P_n={\displaystyle \frac{5n^2-5n+2}{2}}$ for alle $n\ge 1$.