Pendel og potensregresjon med fysikkformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Pendel mellom posisjon A og B

Figuren ovenfor viser en pendel. Tiden pendelen bruker på å svinge fra posisjon B til posisjon A og tilbake til posisjon A igjen, kalles svingetiden.

Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder.

Tabellen nedenfor viser svingetiden til pendler med åtte ulike snorlengder.

Snorlengde (meter)	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}5$	$0{,}8$	$1{,}0$	$1{,}3$	$1{,}6$	$2{,}0$
Svingetid (sekund)	$0{,}69$	$1{,}17$	$1{,}44$	$1{,}82$	$2{,}08$	$2{,}27$	$2{,}53$	$2{,}80$

Bruk tallene i tabellen, og lag en modell på formen

S(x)=a\cdot x^b

som viser svingetiden $S(x)$ sekunder til en pendel med snorlengde $x$ meter.

Formelen

T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

kan brukes for å regne ut svingetiden $T$ til en pendel, når vi ser bort fra friksjon og luftmotstand. $L$ er snorlengden gitt i meter, og $g$ er tyngdens akselerasjon. På jorden er $g=9{,}81 \mathrm{~m/s^2}$ .

Gjør beregninger og sammenlikn uttrykket du fant for $S(x)$ i oppgave a) med formelen for $T$ .

Fasit

$\underline{\underline{S(x) \approx 2{,}03 \cdot x^{0{,}47}}}$

Koeffisienten $a \approx 2{,}03 \approx \dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}} \approx 2{,}006$ og eksponenten $b \approx 0{,}47 \approx 0{,}5$ . Modellen fra forsøket stemmer godt med fysikkformelen.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen og utfører potensregresjon i GeoGebra (Regneark → velg data → Analyse av ett datasett → Regresjon → Potensfunksjon).

Datapunkter og regresjonskurve for svingetid

GeoGebra gir:

S(x) = a \cdot x^b, \quad a \approx 2{,}03, \quad b \approx 0{,}47

$\underline{\underline{S(x) \approx 2{,}03 \cdot x^{0{,}47}}}$

Grafen viser at regresjonskurven (blå) passer godt til alle målepunktene (røde).

Vi skriver om fysikkformelen slik at den ligner på potensformen $a \cdot x^b$ :

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot \sqrt{L} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{g}} \cdot L^{0{,}5}

Med $g = 9{,}81 \, \mathrm{m/s^2}$ :

\dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}} = \dfrac{2\pi}{3{,}132} \approx 2{,}006

Altså gir fysikkformelen:

T \approx 2{,}006 \cdot L^{0{,}5}

Vi sammenligner:

	Koeffisient $a$	Eksponent $b$
Regresjon fra forsøk	$2{,}03$	$0{,}47$
Fysikkformelen	$2{,}006$	$0{,}5$

Koeffisienten fra forsøket ( $2{,}03$ ) avviker kun ca. $1\,\%$ fra den teoretiske verdien ( $2{,}006$ ), og eksponenten ( $0{,}47$ ) avviker ca. $6\,\%$ fra $0{,}5$ . Modellen fra forsøket stemmer godt med fysikkformelen.

Avvikene skyldes målefeil i forsøket og at vi ser bort fra friksjon og luftmotstand i formelen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Regresjon, Potensfunksjon, Modellering, Formler
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Pendel og potensregresjon med fysikkformel

Sync på tvers av enheter

Pendel og potensregresjon med fysikkformel

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave