Påstanden er usann.

Vi trenger bare ett moteksempel. La

Da er

og

Begge grenseverdiene er like, men $f(x)\ne g(x)$ siden $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}>0$ for alle $x\ne 0$, mens $g(x)=0$ overalt.

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Usann}}}$ — like grenseverdier ved $\pm \infty$ garanterer ikke at funksjonene er identiske.

Påstanden er sann.

Vi undersøker om $f(x)=|x|$ er deriverbar for alle $x\ne 0$.

For $x>0$: Her er $|x|=x$, så $f^{\prime }(x)=1$.

For $x<0$: Her er $|x|=-x$, så $f^{\prime }(x)=-1$.

På begge grenene er $f$ deriverbar (konstant derivert). Påstanden sier ingenting om $x=0$, bare at $f$ er deriverbar for alle andre $x$ — det er korrekt.

(For fullstendighetens skyld: i $x=0$ er venstresidig derivert $-1$ og høyresidig derivert $1$, og siden disse ikke er like, er $f$ ikke deriverbar i $x=0$.)

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Sann}}}$ — $|x|$ er deriverbar for alle $x\in ℝ$ bortsett fra i $x=0$.

Påstanden er usann.

Påstanden sier at $a^x=a^y$ alltid medfører $x=y$. Dette er bare sant når $a>0$ og $a\ne 1$.

Moteksempel: La $a=1$, $x=2$, $y=3$.

Da er

så $a^x=a^y$, men $x=2\ne 3=y$.

Likningen $1^x=1^y$ er sann for alle $x$ og $y$, og gir ingen informasjon om forholdet mellom $x$ og $y$.

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Usann}}}$ — for $a=1$ (og $a=0$, $a=-1$ med passende $x,y$) holder ikke implikasjonen $a^x=a^y\Rightarrow x=y$.