Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren er det tegnet et utsnitt av Pascals trekant. Vi har markert trekanttallene $a_{n}$ og delsummene $S_{n}$ av disse.

Utsnitt av Pascals trekant med markerte trekanttall og delsummer

Skriv av og fyll ut tabellen.

$n$	$a_{n}$	$a_{n}$	$S_{n}$	$S_{n}$
1	1	$(\binom{2}{2})$	1	$(\binom{3}{3})$
2	3	$(\binom{3}{2})$	4
3	6		10	$(\binom{5}{3})$
4	10		20
5	15		35

Se på mønsteret i tabellen, og foreslå hvordan vi kan skrive $a_{n}$ og $S_{n}$ som binomialkoeffisienter.

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget.

$a_{n} = (\binom{n + 1}{2}), S_{n} = (\binom{n + 2}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser at hvert trekanttall $a_{n}$ og hver delsum $S_{n}$ allerede er skrevet som binomialkoeffisienter for noen av radene i tabellen. Vi bruker mønsteret i de kjente kolonnene til å fylle ut de manglende rutene.

For $a_{n}$ -kolonnen ser vi at $a_{1} = (\binom{2}{2})$ og $a_{2} = (\binom{3}{2})$ , altså øker det øverste tallet med 1 for hver rad, mens det nederste tallet holder seg lik $2$ . Dette gir

a_{3} = (\binom{4}{2}) = 6, a_{4} = (\binom{5}{2}) = 10

For $S_{n}$ -kolonnen ser vi at $S_{1} = (\binom{3}{3})$ og $S_{3} = (\binom{5}{3})$ , altså øker det øverste tallet med 1 for hver rad, mens det nederste tallet holder seg lik $3$ . Dette gir

S_{2} = (\binom{4}{3}) = 4, S_{4} = (\binom{6}{3}) = 20, S_{5} = (\binom{7}{3}) = 35

Den utfylte tabellen blir dermed

$n$	$a_{n}$	$a_{n}$	$S_{n}$	$S_{n}$
1	1	$(\binom{2}{2})$	1	$(\binom{3}{3})$
2	3	$(\binom{3}{2})$	4	$(\binom{4}{3})$
3	6	$(\binom{4}{2})$	10	$(\binom{5}{3})$
4	10	$(\binom{5}{2})$	20	$(\binom{6}{3})$
5	15	$(\binom{6}{2})$	35	$(\binom{7}{3})$

Ut fra mønsteret i tabellen ser vi at det øverste tallet i binomialkoeffisienten er $n$ pluss et fast tall, mens det nederste tallet er konstant.

For $a_{n}$ er det nederste tallet alltid $2$ , og det øverste tallet er $n + 1$ .

a_{n} = (\binom{n + 1}{2})

For $S_{n}$ er det nederste tallet alltid $3$ , og det øverste tallet er $n + 2$ .

S_{n} = (\binom{n + 2}{3})

Oppgavedata

Hentet fra: S1 E2015, del 1, oppgave 10
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Pascals trekant, Kombinatorikk

Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Lov på eksamen

Temaer