Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv opp de ni første radene av Pascals talltrekant.

Bruk Pascals talltrekant til å bestemme binomialkoeffisientene $(\binom{2}{0})$ , $(\binom{3}{1})$ , $(\binom{5}{2})$ og $(\binom{8}{3})$ .

I oppgavene nedenfor kan du få bruk for denne formelen:

Hypergeometrisk fordeling: P (X = k) = \frac{(\binom{m}{k}) \cdot (\binom{n - m}{r - k})}{(\binom{n}{r})}

$m$ elementer i $D$ . $n - m$ elementer i $\overline{D}$ . $r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$ .

Fra en gruppe med 3 gutter og 5 jenter skal det velges en komité på 3 elever ved loddtrekning.

Bestem sannsynligheten for at det blir 1 gutt og 2 jenter i komiteen.

Fra en gruppe med 8 elever skal det velges en komité. Du får vite at komiteen kan settes sammen på 28 ulike måter.

Hvor mange elever kan det være i komiteen?

Fasit

Se utregning

$(\binom{2}{0}) = 1, (\binom{3}{1}) = 3, (\binom{5}{2}) = 10, (\binom{8}{3}) = 56$

$P = \frac{15}{28}$

$2 eller 6 elever$

LøsningsforslagKI-generert

De ni første radene av Pascals talltrekant (rad $0$ til rad $8$ ) er:

Rad 0:                       1
Rad 1:                     1   1
Rad 2:                   1   2   1
Rad 3:                 1   3   3   1
Rad 4:               1   4   6   4   1
Rad 5:             1   5  10  10   5   1
Rad 6:           1   6  15  20  15   6   1
Rad 7:         1   7  21  35  35  21   7   1
Rad 8:       1   8  28  56  70  56  28   8   1

Hvert tall er summen av de to tallene rett over i raden over (bortsett fra $1$ -tallene ytterst).

Tallet i rad $n$ , plass $k$ (regnet fra $0$ ) i Pascals talltrekant er binomialkoeffisienten $(\binom{n}{k})$ . Vi leser av trekanten fra a):

(\binom{2}{0}) = 1 (\binom{3}{1}) = 3 (\binom{5}{2}) = 10 (\binom{8}{3}) = 56

Gruppen har $3$ gutter og $5$ jenter, totalt $8$ elever. Vi skal velge en komité på $3$ ved loddtrekning, og bruker hypergeometrisk fordeling med $D = gutter$ , $m = 3$ , $n = 8$ , $r = 3$ , $k = 1$ :

P (1 gutt og 2 jenter) = \frac{(\binom{3}{1}) \cdot (\binom{5}{2})}{(\binom{8}{3})} = \frac{3 \cdot 10}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}

Komiteen velges blant $8$ elever, og kan settes sammen på $28$ ulike måter. Vi leter etter $k$ slik at $(\binom{8}{k}) = 28$ . Fra Pascals talltrekant (rad 8) ser vi at $(\binom{8}{2}) = 28$ og $(\binom{8}{6}) = 28$ (symmetrien $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ ). Komiteen kan derfor bestå av $2$ eller $6$ elever.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En fullgod besvarelse har med begge løsningene.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2013, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Binomisk fordeling

Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling

Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling

Lov på eksamen

Temaer