Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt tre punkt $A (1, 3)$ , $B (4, 0)$ og $C (5, 5)$ .

For hånd

Bestem en parameterframstilling for linjen $ℓ$ gjennom $B$ og $C$ .

For hånd

Et punkt $P$ ligger på linjen $ℓ$ . Forklar at vi kan skrive $\vec{A P} = [3 + t, - 3 + 5 t]$ for en $t \in ℝ$ .

For hånd

Bruk blant annet skalarprodukt til å finne koordinatene til $P$ slik at $\vec{A B} ⟂ \vec{A P}$ .

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme hvilke koordinater $P$ kan ha når $∠ B A P = 45 °$ .

Fasit

$ℓ : [x, y] = [4,0] + t \cdot [1,5]$

Se utledning.

$P = (5,5, 7,5)$

$P_{1} = (\frac{23}{5}, 3) eller P_{2} = (1, - 15)$

LøsningsforslagKI-generert

Linjen $ℓ$ går gjennom $B (4,0)$ og $C (5,5)$ . En retningsvektor for $ℓ$ finner vi som

\vec{B C} = C - B = (5 - 4, 5 - 0) = (1, 5)

Med $B$ som festepunkt får vi parameterframstillingen

ℓ : [x, y] = [4,0] + t \cdot [1,5], t \in ℝ

$ℓ : [x, y] = [4,0] + t \cdot [1,5]$

Et vilkårlig punkt $P$ på $ℓ$ kan skrives $P = (4 + t, 5 t)$ ved å sette komponentene fra parameterframstillingen i a) inn i $x$ - og $y$ -koordinaten. Da blir

\vec{A P} = P - A = (4 + t - 1, 5 t - 3) = (3 + t, - 3 + 5 t)

som er nøyaktig det oppgaven ber oss vise, altså $\vec{A P} = [3 + t, - 3 + 5 t]$ .

Vi skal finne $t$ slik at $\vec{A B} ⟂ \vec{A P}$ , altså $\vec{A B} \cdot \vec{A P} = 0$ .

\vec{A B} = B - A = (4 - 1, 0 - 3) = (3, - 3)

Skalarproduktet med $\vec{A P} = (3 + t, - 3 + 5 t)$ blir

\vec{A B} \cdot \vec{A P} = 3 (3 + t) + (- 3) (- 3 + 5 t) = 9 + 3 t + 9 - 15 t = 18 - 12 t

Setter vi dette lik null:

18 - 12 t = 0 \Rightarrow t = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}

Punktet $P$ finner vi ved å sette $t = \frac{3}{2}$ inn i parameterframstillingen fra a):

P = (4 + \frac{3}{2}, 5 \cdot \frac{3}{2}) = (\frac{11}{2}, \frac{15}{2}) = (5,5, 7,5)

$P = (5,5, 7,5)$

Vinkelen mellom $\vec{A B}$ og $\vec{A P}$ er gitt ved

\cos (∠ B A P) = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A P}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A P} |}

Vi bruker $\vec{A B} \cdot \vec{A P} = 18 - 12 t$ fra c), $| \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$ og $| \vec{A P} | = \sqrt{{(3 + t)}^{2} + {(- 3 + 5 t)}^{2}}$ , og krever at vinkelen skal være $45 °$ :

\cos (45 °) = \frac{18 - 12 t}{3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{{(3 + t)}^{2} + {(- 3 + 5 t)}^{2}}}

Denne likningen løses i CAS:

Løs (3 (3 + t) + (- 3) (- 3 + 5 t) = 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{{(3 + t)}^{2} + {(- 3 + 5 t)}^{2}} \cdot \cos (45 °), t)

CAS-løsning av vinkellikningen

CAS gir $t = - 3$ eller $t = \frac{3}{5}$ . Med $t = \frac{3}{5}$ i parameterframstillingen fra a) blir

P_{1} = (4 + \frac{3}{5}, 5 \cdot \frac{3}{5}) = (\frac{23}{5}, 3)

og med $t = - 3$ blir

P_{2} = (4 - 3, 5 \cdot (- 3)) = (1, - 15)

Begge punktene gir $∠ B A P = 45 °$ (de ligger på hver sin side av linjen $A B$ ).

$P_{1} = (\frac{23}{5}, 3) eller P_{2} = (1, - 15)$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2016, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, CAS

Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

Parameterframstilling skalarprodukt og vinkel mellom vektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer