Parameterframstilling og vinkelrett punkt på linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et koordinatsystem har vi punktene $A (- 3, - 2)$ , $B (3, 4)$ og $C (- 4, 5)$ . En linje $ℓ$ går gjennom punktet $C$ og er parallell med $A B$ .

Sett opp en parameterframstilling for $ℓ$ .

Linjen $ℓ$ skjærer $x$ -aksen i punktet $D$ .

Bestem koordinatene til $D$ .

Bestem koordinatene til et punkt $E$ på linjen $ℓ$ slik at $∠ B A E = 90 °$ .

Fasit

$ℓ : (x, y) = (- 4,5) + t (1,1)$

$D (- 9, 0)$

$E (- 7, 2)$

LøsningsforslagKI-generert

Retningsvektoren til $ℓ$ er den samme som $\vec{A B}$ , siden $ℓ$ er parallell med $A B$ .

\vec{A B} = B - A = (3 - (- 3), 4 - (- 2)) = (6, 6)

Vi forenkler retningsvektoren til $(1,1)$ . Linjen $ℓ$ går gjennom $C (- 4,5)$ , så en parameterframstilling blir

ℓ : {\begin{matrix} x = - 4 + t \\ y = 5 + t \end{matrix}

Punktet $D$ ligger på $x$ -aksen, altså er $y = 0$ .

5 + t = 0 \Rightarrow t = - 5

Vi setter $t = - 5$ inn i uttrykket for $x$ .

x = - 4 + (- 5) = - 9

Svar: $D (- 9, 0)$

Punktet $E$ ligger på $ℓ$ , så $E = (- 4 + t, 5 + t)$ for en verdi av $t$ vi skal finne.

Skal $∠ B A E = 90 °$ , må vektoren $\vec{A E}$ stå normalt på $\vec{A B}$ , altså $\vec{A E} \cdot \vec{A B} = 0$ .

\vec{A E} = E - A = (- 4 + t - (- 3), 5 + t - (- 2)) = (t - 1, t + 7)

Vi bruker den forenklede retningsvektoren $\vec{A B} = (1,1)$ og setter opp skalarproduktet lik null.

(t - 1) \cdot 1 + (t + 7) \cdot 1 = 0

2 t + 6 = 0 \Rightarrow t = - 3

Vi setter $t = - 3$ inn i uttrykket for $E$ .

E = (- 4 - 3, 5 - 3) = (- 7, 2)

Svar: $E (- 7, 2)$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2016, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Geometri

Innstillinger