Parameterframstilling for linje og radius til tangerende sirkel om S

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En linje $ℓ$ går gjennom punktene $A (- 2,1)$ og $B (4,3)$ .

Bestem en parameterframstilling for $ℓ$ .

Bestem skjæringspunktene mellom $ℓ$ og koordinataksene.

En sirkel har sentrum i $S (1,0)$ og tangerer $ℓ$ .

Bestem sirkelens radius.

Fasit

$(x, y) = (- 2,1) + t \cdot (3,1), t \in ℝ$

Skjærer $x$ -aksen i $(- 5,0)$ og $y$ -aksen i $(0, \frac{5}{3})$

$r = \frac{3 \sqrt{10}}{5}$

LøsningsforslagKI-generert

Retningsvektoren til $ℓ$ finner vi som $\vec{A B}$ :

\vec{A B} = B - A = (4 - (- 2), 3 - 1) = (6,2)

Vi kan forkorte retningsvektoren med $2$ til $(3,1)$ . En parameterframstilling for $ℓ$ gjennom $A (- 2,1)$ blir da

(x, y) = (- 2,1) + t \cdot (3,1), t \in ℝ

det vil si $x = - 2 + 3 t$ og $y = 1 + t$ .

Skjæring med $x$ -aksen ( $y = 0$ ):

\begin{matrix} 1 + t & = 0 \\ t & = - 1 \end{matrix}

Dette gir $x = - 2 + 3 \cdot (- 1) = - 5$ , altså skjæringspunktet $(- 5,0)$ .

Skjæring med $y$ -aksen ( $x = 0$ ):

\begin{matrix} - 2 + 3 t & = 0 \\ t & = \frac{2}{3} \end{matrix}

Dette gir $y = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ , altså skjæringspunktet $(0, \frac{5}{3})$ .

Siden sirkelen med sentrum $S (1,0)$ tangerer $ℓ$ , er radien lik avstanden fra $S$ til $ℓ$ . Denne avstanden er kortest til det punktet $P$ på $ℓ$ der $\vec{S P}$ står normalt på retningsvektoren $(3,1)$ .

Et vilkårlig punkt på $ℓ$ er $P (t) = (- 2 + 3 t, 1 + t)$ . Da er

\vec{S P} = P (t) - S = (- 2 + 3 t - 1, 1 + t - 0) = (3 t - 3, t + 1)

Kravet $\vec{S P} ⟂ (3,1)$ gir $\vec{S P} \cdot (3,1) = 0$ :

\begin{matrix} 3 (3 t - 3) + 1 (t + 1) & = 0 \\ 9 t - 9 + t + 1 & = 0 \\ 10 t - 8 & = 0 \\ t & = \frac{4}{5} \end{matrix}

Vi setter inn $t = \frac{4}{5}$ :

P = (- 2 + 3 \cdot \frac{4}{5}, 1 + \frac{4}{5}) = (\frac{2}{5}, \frac{9}{5})

\vec{S P} = (\frac{2}{5} - 1, \frac{9}{5} - 0) = (- \frac{3}{5}, \frac{9}{5})

Radien er lengden av denne vektoren:

r = | \vec{S P} | = \sqrt{{(- \frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{9}{5})}^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{81}{25}} = \sqrt{\frac{90}{25}} = \frac{\sqrt{90}}{5} = \frac{3 \sqrt{10}}{5}

r = \frac{3 \sqrt{10}}{5} \approx 1,90

Linjen l gjennom A og B, med sirkelen om S som tangerer l i P

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2021, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Sirkel

Parameterframstilling for linje og radius til tangerende sirkel om S

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Parameterframstilling for linje og radius til tangerende sirkel om S

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Parameterframstilling for linje og radius til tangerende sirkel om S

Parameterframstilling for linje og radius til tangerende sirkel om S

Lov på eksamen

Temaer