Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt trekanten $O A B$ nedenfor.

Trekant OAB med punkt P på AB og punkt R på OB

Punktet $P$ er plassert slik at linjestykket $O P$ er $\frac{2}{3}$ av linjestykket $O A$ , og punktet $R$ er plassert slik at linjestykket $O R$ er $\frac{2}{3}$ av linjestykket $O B$ .

Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $\vec{a} = \vec{O A}$ og $\vec{b} = \vec{O B}$ .

Uttrykk $\vec{A B}$ og $\vec{P R}$ ved hjelp av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vis at $\vec{A B} ∥ \vec{P R}$ .

Hvor langt er linjestykket $A B$ dersom $| \vec{P R} | = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ?

Fasit

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$ , $\vec{P R} = \frac{2}{3} (\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{P R} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ , så $\vec{A B} ∥ \vec{P R}$

$| A B | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$ :

\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}

Siden $O P = \frac{2}{3} \cdot O A$ , er $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{a}$ .

Siden $O R = \frac{2}{3} \cdot O B$ , er $\vec{O R} = \frac{2}{3} \vec{b}$ .

Vi bruker at $\vec{P R} = \vec{O R} - \vec{O P}$ :

\vec{P R} = \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{a} = \frac{2}{3} (\vec{b} - \vec{a})

$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$ og $\vec{P R} = \frac{2}{3} (\vec{b} - \vec{a})$

Fra deloppgave a) ser vi at:

\vec{P R} = \frac{2}{3} (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3} \vec{A B}

Siden $\vec{P R}$ er et skalarmultiplum av $\vec{A B}$ , er de to vektorene parallelle.

$\vec{A B} ∥ \vec{P R}$

Fra b) har vi $\vec{P R} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ , og dermed:

| \vec{P R} | = \frac{2}{3} | \vec{A B} |

Vi løser for $| A B |$ :

| A B | = \frac{3}{2} \cdot | \vec{P R} | = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$| A B | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidatene må finne begge uttrykkene for å få poeng.

Kandidaten må argumentere for parallellitet for å få poeng.

Kandidaten som har riktig svar, men ikke forkorter brøken får uttelling. Om kandidaten ikke har fått til a, b og c, men har vist noe kompetanse innen regning med generelle vektorer (uten tall), kan det gis 1 poeng totalt på oppgave 8.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Vektorer, Argumentasjon
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

Lov på eksamen

Temaer