Parabel korde og parallell tangent i midtpunktet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} - 6 x + 8

For hånd

Vis at tangenten til grafen til $f$ i punktet $(4, f (4))$ er parallell med linjen som går gjennom punktene $(2, f (2))$ og $(6, f (6))$ .

Nedenfor ser du grafen til en funksjon $g$ gitt ved

g (x) = a x^{2} + b x + c, a \neq 0

Parabel g med sekant gjennom P og Q og tangent i midtpunktet M

For hånd

Bruk CAS til å bestemme stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet

M (\frac{p + q}{2}, g (\frac{p + q}{2}))

For hånd

Vis at linjen gjennom punktene $P (p, g (p))$ og $Q (q, g (q))$ er parallell med tangenten i oppgave b).

Fasit

Begge stigningstall er $2$ , så linjene er parallelle.

$a (p + q) + b$

Stigningstallet til $P Q$ er $a (p + q) + b$ , samme som i b) — linjene er parallelle.

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner stigningstallet til tangenten i $(4, f (4))$ ved å derivere $f$ .

f (x) = x^{2} - 6 x + 8 f^{'} (x) = 2 x - 6

f^{'} (4) = 2 \cdot 4 - 6 = 2

Deretter finner vi stigningstallet til linjen (sekanten/korden) gjennom $(2, f (2))$ og $(6, f (6))$ .

f (2) = 2^{2} - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0

f (6) = 6^{2} - 6 \cdot 6 + 8 = 36 - 36 + 8 = 8

Stigningstall = \frac{f (6) - f (2)}{6 - 2} = \frac{8 - 0}{4} = 2

Siden begge stigningstallene er $2$ , er tangenten i $(4, f (4))$ parallell med linjen (korden) gjennom $(2, f (2))$ og $(6, f (6))$ .

$Tangenten er parallell med korden, begge har stigningstall 2$

Vi definerer $g (t) = a t^{2} + b t + c$ i CAS og deriverer, deretter setter vi inn $t = \frac{p + q}{2}$ .

Derivasjon av g og stigningstall i M

Fra CAS-utklippet ser vi at

g^{'} (t) = 2 a t + b

g^{'} (\frac{p + q}{2}) = a (p + q) + b

$Stigningstallet til tangenten i M er a (p + q) + b$

Stigningstallet til linjen gjennom $P (p, g (p))$ og $Q (q, g (q))$ er

{Stigningstall}_{P Q} = \frac{g (q) - g (p)}{q - p}

Vi setter inn uttrykket for $g$ :

g (q) - g (p) = (a q^{2} + b q + c) - (a p^{2} + b p + c) = a (q^{2} - p^{2}) + b (q - p)

Vi faktoriserer $q^{2} - p^{2} = (q - p) (q + p)$ og setter $(q - p)$ utenfor parentes:

g (q) - g (p) = a (q - p) (q + p) + b (q - p) = (q - p) [a (p + q) + b]

Da blir stigningstallet

{Stigningstall}_{P Q} = \frac{(q - p) [a (p + q) + b]}{q - p} = a (p + q) + b

Dette er nøyaktig det samme uttrykket som stigningstallet til tangenten i $M$ fra oppgave b). Siden linjen $P Q$ og tangenten i $M$ har samme stigningstall, er de parallelle.

$Linjen P Q og tangenten i M har begge stigningstall a (p + q) + b, så de er parallelle$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2018, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Derivasjon, Bevis, CAS

Parabel korde og parallell tangent i midtpunktet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Parabel korde og parallell tangent i midtpunktet

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Parabel korde og parallell tangent i midtpunktet

Parabel korde og parallell tangent i midtpunktet

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer