Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vilkårlig $△ A B C$ er gitt. En sirkel har radius $R$ og sentrum i $S$ og omskriver $△ A B C$ . En normal fra $S$ til siden $A C$ har fotpunkt $D$ . Se skissen nedenfor.

Trekant ABC med omskrevet sirkel og sentrum S

Forklar at $∠ B = ∠ D S A$ .

Vi setter $A C = b$ .

Vis at $\frac{b}{\sin B} = 2 R$

Vi setter $B C = a$ og $A B = c$ .

Bruk tilsvarende resonnement som i oppgave b) til å vise at

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

Fasit

$∠ B = ∠ D S A$ (periferivinkel = halve sentralvinkelen, som halveres av $S D$ )

$\frac{b}{\sin B} = 2 R$

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten $△ A S C$ er likebeint, siden $S A = S C = R$ (begge er radier i sirkelen). Linja $S D$ står vinkelrett på grunnlinja $A C$ i denne likebeinte trekanten, og en slik høyde fra toppunktet $S$ er også vinkelhalveringslinje for toppvinkelen. Dermed er

∠ D S A = \frac{1}{2} ∠ A S C

Vinkelen $∠ A S C$ er sentralvinkelen som står på buen $A C$ , mens $∠ B$ er periferivinkelen (den innskrevne vinkelen) som står på samme bue $A C$ . Ifølge periferivinkelsetningen er en periferivinkel alltid halvparten av sentralvinkelen som står på samme bue:

∠ B = \frac{1}{2} ∠ A S C

Siden både $∠ D S A$ og $∠ B$ er lik $\frac{1}{2} ∠ A S C$ , må

∠ B = ∠ D S A

Fordi $S D$ er vinkelhalveringslinje (og dermed også median) i den likebeinte trekanten $△ A S C$ , halverer $D$ siden $A C$ . Siden $A C = b$ , er

A D = \frac{b}{2}

Trekanten $△ D S A$ er rettvinklet med rett vinkel i $D$ , og hypotenusen er $S A = R$ . Fra a) vet vi at $∠ D S A = ∠ B$ . Ved definisjonen av sinus i den rettvinklede trekanten $△ D S A$ :

\sin (∠ D S A) = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{A D}{S A} = \frac{b / 2}{R}

Siden $∠ D S A = ∠ B$ , får vi

\sin B = \frac{b}{2 R} \Rightarrow \frac{b}{\sin B} = 2 R

Resonnementet i a) og b) brukte ikke noe spesielt ved siden $A C$ — det samme argumentet kan gjentas for de to andre sidene i trekanten.

Fell en normal fra $S$ ned på siden $B C = a$ , med fotpunkt $E$ . Med akkurat samme argument som i a) og b) (nå brukt på den likebeinte trekanten $△ B S C$ og periferivinkelen $∠ A$ , som står på buen $B C$ ) får vi

\frac{a}{\sin A} = 2 R

Fell tilsvarende en normal fra $S$ ned på siden $A B = c$ , med fotpunkt $F$ . Samme argument brukt på $△ A S B$ og periferivinkelen $∠ C$ gir

\frac{c}{\sin C} = 2 R

Siden alle tre uttrykkene er lik $2 R$ , har vi vist at

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling må det argumenteres med både periferivinkelsetningen og at $∠ D S A$ er lik halvparten av sentralvinkelen.

og c) Oppgave 8b og 8c prøver mye av den samme kompetansen. Dette må tas hensyn til slik at oppgaven ikke tillegges for stor vekt i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2015, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Geometri, Bevis

Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet

Omskrevet sirkel og bevis for sinusteoremet

Lov på eksamen

Temaer