Omkrets og areal av område avgrenset av tre halvsirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sirkelbuene på figuren ovenfor er halvsirkler. Linjestykket $A B$ har lengde $a$ og linjestykket $B C$ har lengde $4 a$ .

Bestem omkretsen av det blå området på figuren uttrykt ved $a$ .

Bestem arealet av det blå området på figuren uttrykt ved $a$ .

Fasit

$O = 5 π a$

$A = π a^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Linjestykket $A C = A B + B C = a + 4 a = 5 a$ . Figuren består av tre halvsirkler med diameter henholdsvis $A C = 5 a$ , $B C = 4 a$ og $A B = a$ , altså med radius $\frac{5 a}{2}$ , $\frac{4 a}{2} = 2 a$ og $\frac{a}{2}$ .

Randen til det blå området består av de tre halvsirkelbuene (ingen rette linjestykker, siden $A B$ og $B C$ til sammen dekker hele grunnlinjen $A C$ ). Buelengden til en halvsirkel med radius $r$ er halvparten av omkretsen til hele sirkelen:

b = \frac{1}{2} \cdot 2 π r = π r

Vi finner buelengden til hver av de tre halvsirklene:

b_{A C} = π \cdot \frac{5 a}{2} b_{B C} = π \cdot 2 a b_{A B} = π \cdot \frac{a}{2}

Omkretsen av det blå området er summen av disse tre buelengdene:

O = π \cdot \frac{5 a}{2} + π \cdot 2 a + π \cdot \frac{a}{2} = π (\frac{5 a}{2} + \frac{a}{2} + 2 a) = π (3 a + 2 a) = 5 π a

$O = 5 π a$

Det blå området er den store halvsirkelen (diameter $A C$ ) med de to små halvsirklene (diameter $B C$ og $A B$ ) fjernet. Arealet av en halvsirkel med radius $r$ er

A = \frac{1}{2} π r^{2}

Vi finner arealet av hver av de tre halvsirklene:

A_{A C} = \frac{1}{2} π {(\frac{5 a}{2})}^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{25 a^{2}}{4} = \frac{25 π a^{2}}{8}

A_{B C} = \frac{1}{2} π {(2 a)}^{2} = \frac{1}{2} π \cdot 4 a^{2} = 2 π a^{2}

A_{A B} = \frac{1}{2} π {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{a^{2}}{4} = \frac{π a^{2}}{8}

Arealet av det blå området er den store halvsirkelen minus de to små:

A = A_{A C} - A_{B C} - A_{A B} = \frac{25 π a^{2}}{8} - 2 π a^{2} - \frac{π a^{2}}{8}

Vi skriver $2 π a^{2}$ som $\frac{16 π a^{2}}{8}$ for å få felles nevner:

A = \frac{25 π a^{2}}{8} - \frac{16 π a^{2}}{8} - \frac{π a^{2}}{8} = \frac{(25 - 16 - 1) π a^{2}}{8} = \frac{8 π a^{2}}{8} = π a^{2}

$A = π a^{2}$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2016, del 1, oppgave 14
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets

Omkrets og areal av område avgrenset av tre halvsirkler

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Omkrets og areal av område avgrenset av tre halvsirkler

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Omkrets og areal av område avgrenset av tre halvsirkler

Omkrets og areal av område avgrenset av tre halvsirkler

Lov på eksamen

Temaer