Volumet av et omdreiingslegeme om $x$-aksen er gitt ved

Vi bruker GeoGebra CAS med kommandoen

Integral(pi * f(x)^2, x, pi/4, 3*pi/4)

CAS gir det eksakte svaret

Volumet av omdreiingslegemet er $\underline{\underline{V={\displaystyle \frac{-{\pi }^2+20\pi }{2}}\approx \mathrm{26,48}}}$.

Vi må sjekke om omdreiingslegemet kan plasseres inne i kjeglen.

Kjeglens høyde: Volumet av en rett kjegle er $V_k={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$. Vi løser for $h$:

Omdreiingslegemets ytterpunkter: Vi har

Lengden langs $x$-aksen er $\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\approx \mathrm{1,57}$.

Plassering i kjeglen: Vi legger kjeglen slik at toppunktet er i origo og bunnen ved $x=h$, slik at kjegleveggen er gitt ved den lineære funksjonen

For at omdreiingslegemet skal få plass, må radien $f$ til omdreiingslegemet ligge under kjegleveggen $g$ overalt. Plasser omdreiingslegemet slik at den smale enden tangerer kjegleveggen. Vi løser $g(x)=f\left(\frac{\pi }{4}\right)$:

Da må den brede enden ligge ved $x+\frac{\pi }{2}\approx \mathrm{0,11}+\mathrm{1,57}=\mathrm{1,68}$. Den resterende plassen i kjeglen fra $x\approx \mathrm{0,11}$ til $x=h$ er

Men kjegleveggen smalner — i posisjon $x\approx \mathrm{1,68}$ er kjegleradien

Omdreiingslegemets brede ende har radius $\approx \mathrm{3,83}>\mathrm{2,50}$, så den brede enden stikker utenfor kjeglen.

Alternativ tilnærming: Vi kan også forsøke å plassere den brede enden mot bunnen. Da må $h-x_{\text{smal}}\ge \frac{\pi }{2}$, dvs. $x_{\text{smal}}\le h-\frac{\pi }{2}\approx \mathrm{1,11}$. Men i denne posisjonen er kjegleradien

så den smale enden stikker også utenfor.

Uansett orientering passer altså ikke omdreiingslegemet inn i kjeglen.

Nei, omdreiingslegemet får ikke plass i kjeglen.