Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{2 - \cos x}{\sin x}, \quad D_f = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]

Vi roterer grafen til $f$ om $x$ -aksen.

Omdreiingslegemet til f

Bestem volumet av omdreiingslegemet vi da får.

Omdreiingslegemet skal plasseres i en rett kjegle med radius 4 og volum 45.

Avgjør om omdreiingslegemet får plass i kjeglen.

Fasit

$\underline{\underline{V = \dfrac{-\pi^2 + 20\pi}{2} \approx 26{,}48}}$

Nei, omdreiingslegemet får ikke plass i kjeglen.

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av et omdreiingslegeme om $x$ -aksen er gitt ved

V = \pi \int_a^b f(x)^2 \, \mathrm{d}x

Vi bruker GeoGebra CAS med kommandoen

Integral(pi * f(x)^2, x, pi/4, 3*pi/4)

GeoGebra CAS – volum og analyse av f

CAS gir det eksakte svaret

V = \frac{-\pi^2 + 20\pi}{2} \approx \mathbf{26{,}48}

Volumet av omdreiingslegemet er $\underline{\underline{V = \dfrac{-\pi^2 + 20\pi}{2} \approx 26{,}48}}$ .

Vi må sjekke om omdreiingslegemet kan plasseres inne i kjeglen.

Kjeglens høyde: Volumet av en rett kjegle er $V_k = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ . Vi løser for $h$ :

h = \frac{3 V_k}{\pi r^2} = \frac{3 \cdot 45}{\pi \cdot 4^2} = \frac{135}{16\pi} \approx 2{,}69

Omdreiingslegemets ytterpunkter: Vi har

f\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} - 1 \approx 1{,}83

f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{2 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} + 1 \approx 3{,}83

Lengden langs $x$ -aksen er $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ .

Plassering i kjeglen: Vi legger kjeglen slik at toppunktet er i origo og bunnen ved $x = h$ , slik at kjegleveggen er gitt ved den lineære funksjonen

g(x) = \frac{r}{h} \cdot x = \frac{4}{\tfrac{135}{16\pi}} \cdot x = \frac{64\pi}{135} \cdot x

For at omdreiingslegemet skal få plass, må radien $f$ til omdreiingslegemet ligge under kjegleveggen $g$ overalt. Plasser omdreiingslegemet slik at den smale enden tangerer kjegleveggen. Vi løser $g(x) = f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)$ :

\frac{64\pi}{135} \cdot x = 2\sqrt{2} - 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{135 \,(2\sqrt{2} - 1)}{64\pi} \approx 0{,}11

Da må den brede enden ligge ved $x + \frac{\pi}{2} \approx 0{,}11 + 1{,}57 = 1{,}68$ . Den resterende plassen i kjeglen fra $x \approx 0{,}11$ til $x = h$ er

h - x \approx 2{,}69 - 0{,}11 = 2{,}58

Men kjegleveggen smalner — i posisjon $x \approx 1{,}68$ er kjegleradien

g(1{,}68) = \frac{64\pi}{135} \cdot 1{,}68 \approx 2{,}50

Omdreiingslegemets brede ende har radius $\approx 3{,}83 > 2{,}50$ , så den brede enden stikker utenfor kjeglen.

Alternativ tilnærming: Vi kan også forsøke å plassere den brede enden mot bunnen. Da må $h - x_\text{smal} \geq \frac{\pi}{2}$ , dvs. $x_\text{smal} \leq h - \frac{\pi}{2} \approx 1{,}11$ . Men i denne posisjonen er kjegleradien

g(1{,}11) = \frac{64\pi}{135} \cdot 1{,}11 \approx 1{,}66 < 1{,}83

så den smale enden stikker også utenfor.

Uansett orientering passer altså ikke omdreiingslegemet inn i kjeglen.

Nei, omdreiingslegemet får ikke plass i kjeglen.

Oppgavedata

Temaer: integral, omdreiningslegeme, trigonometri
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer