Volumet av et omdreiingslegeme om $x$-aksen er gitt ved

Vi bruker GeoGebra CAS med kommandoen

Integral(pi * f(x)^2, x, pi/4, 3*pi/4)

CAS gir det eksakte svaret

Volumet av omdreiingslegemet er $\underline{\underline{V = \dfrac{-\pi^2 + 20\pi}{2} \approx 26{,}48}}$.

Vi må sjekke om omdreiingslegemet kan plasseres inne i kjeglen.

Kjeglens høyde: Volumet av en rett kjegle er $V_k = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$. Vi løser for $h$:

Omdreiingslegemets ytterpunkter: Vi har

Lengden langs $x$-aksen er $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$.

Plassering i kjeglen: Vi legger kjeglen slik at toppunktet er i origo og bunnen ved $x = h$, slik at kjegleveggen er gitt ved den lineære funksjonen

For at omdreiingslegemet skal få plass, må radien $f$ til omdreiingslegemet ligge under kjegleveggen $g$ overalt. Plasser omdreiingslegemet slik at den smale enden tangerer kjegleveggen. Vi løser $g(x) = f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)$:

Da må den brede enden ligge ved $x + \frac{\pi}{2} \approx 0{,}11 + 1{,}57 = 1{,}68$. Den resterende plassen i kjeglen fra $x \approx 0{,}11$ til $x = h$ er

Men kjegleveggen smalner — i posisjon $x \approx 1{,}68$ er kjegleradien

Omdreiingslegemets brede ende har radius $\approx 3{,}83 > 2{,}50$, så den brede enden stikker utenfor kjeglen.

Alternativ tilnærming: Vi kan også forsøke å plassere den brede enden mot bunnen. Da må $h - x_\text{smal} \geq \frac{\pi}{2}$, dvs. $x_\text{smal} \leq h - \frac{\pi}{2} \approx 1{,}11$. Men i denne posisjonen er kjegleradien

så den smale enden stikker også utenfor.

Uansett orientering passer altså ikke omdreiingslegemet inn i kjeglen.

Nei, omdreiingslegemet får ikke plass i kjeglen.