Sirkellikningen er

Vi løser med hensyn på $y$:

Løsningen med $+$ gir den øvre halvsirkelen $f(x)=5+\sqrt{4-x^2}$, mens løsningen med $-$ gir den nedre halvsirkelen $g(x)=5-\sqrt{4-x^2}$. Begge er definert for $x\in [-2,2]$, siden uttrykket under rottegnet må være ikke-negativt. Til sammen dekker $f$ og $g$ alle punktene som tilfredsstiller sirkellikningen, altså danner grafene til $f$ og $g$ sammen hele sirkelen.

Når sirkelen roteres $360°$ om $x$-aksen, dannes en torus (smultringform). Siden hele sirkelen ligger over $x$-aksen (sentrum i $y=5$, radius $2$), er omdreiingslegemet volumet mellom omdreiingsflatene til $f$ (ytre flate) og $g$ (indre flate):

Vi setter inn og forenkler integranden:

Dermed er

CAS gir (se utklipp under, linje 1):

Dette kan kontrolleres med Pappus’ regel, der volumet av et omdreiingslegeme dannet ved å rotere et areal $A$ om en akse i planet er $V=2\pi \bar{y}\cdot A$, der $\bar{y}$ er avstanden fra aksen til arealets tyngdepunkt. Her er $A$ arealet av sirkelen ($\pi \cdot 2^2$) og $\bar{y}=5$ (avstanden fra $x$-aksen til sirkelens sentrum):

Den nye sirkelen har sentrum $(2,7)$ og radius $3$, med likning ${(x-2)}^2+{(y-7)}^2=9$. På samme måte som i a) løser vi med hensyn på $y$ og får

Volumet av omdreiingslegemet blir

siden $f(x{)}^2-g(x{)}^2=(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=2\sqrt{9-(x-2{)}^2}\cdot 14=28\sqrt{9-(x-2{)}^2}$.

CAS gir (se utklipp over, linje 2):

Kontroll med Pappus’ regel, der $A=\pi \cdot 3^2$ er sirkelens areal og $\bar{y}=7$ er avstanden fra $x$-aksen til sentrum: