Vi løser $f(x)=0$ og $g(x)=0$ hver for seg.

Vi faktoriserer: vi trenger to tall som ganger gir $6$ og summert gir $-5$, altså $-2$ og $-3$.

Her bruker vi $abc$-formelen med $a=6$, $b=-5$, $c=1$:

Nullpunktene til $f$ er $2$ og $3$. Nullpunktene til $g$ er ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ og ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ — nettopp de omvendte verdiene av nullpunktene til $f$.

Sammenhengen: Hvert nullpunkt $x_0$ til $f$ gir et nullpunkt ${\displaystyle \frac{1}{x_0}}$ til $g$.

Vi skal bevise sammenhengen for et vilkårlig polynom av grad $n$.

La

Polynomet $g$ har «omvendt rekkefølge» på koeffisientene, altså

Steg 1: Vis at $g(x)=x^{n}f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ for $x\ne 0$.

Vi setter ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ inn i $f$ og ganger med $x^n$:

Skriver vi leddene i motsatt rekkefølge (fra høyeste til laveste potens), ser vi at dette er nøyaktig $g(x)$:

Steg 2: Bruk sammenhengen til å vise at nullpunkter «snus».

Anta at $x_0\ne 0$ er et nullpunkt for $f$, altså $f(x_0)=0$. Vi setter $x={\displaystyle \frac{1}{x_0}}$ inn i formelen fra steg 1:

Altså er ${\displaystyle \frac{1}{x_0}}$ et nullpunkt for $g$.

Konklusjon: For ethvert polynom $f$ med et nullpunkt $x_0\ne 0$, har polynomet $g$ med omvendt koeffisientrekkefølge ${\displaystyle \frac{1}{x_0}}$ som nullpunkt. Dette stemmer med det vi observerte i a) ($2\leftrightarrow \frac{1}{2}$ og $3\leftrightarrow \frac{1}{3}$), og gjelder for polynomer av vilkårlig grad $n$.

$■$