Nullpunktene til $f$ finner vi ved å løse $f(x)=0$. Siden $e^{-\frac{x}{3}}>0$ for alle $x$, må

Dette gir nullpunktene $x=0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi ,{\displaystyle \frac{3\pi }{2}},2\pi ,\dots$

Kaller vi disse $a_1,a_2,a_3,\dots$ (med $a_1=0$ som første nullpunkt), er differansen mellom to påfølgende nullpunkt konstant:

for alle $n$. Dette viser at nullpunktene danner en aritmetisk tallfølge med $a_1=0$ og $d={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Da er

$\underline{\underline{a_{20}={\displaystyle \frac{19\pi }{2}}\approx \mathrm{29,85}}}$

For å finne maksimalpunktene deriverer vi $f$ ved produktregelen:

Siden $e^{-\frac{x}{3}}\ne 0$, blir $f^{\prime }(x)=0$ når

Ved å sjekke fortegnet til $f^{\prime }$ omkring disse punktene, ser vi at annenhver løsning gir et toppunkt (maksimum) og annenhver gir et bunnpunkt (minimum), slik mønsteret i grafen fra oppgave 1 også viser. Toppunktene ligger ved

altså med avstand $\pi$ mellom hvert toppunkt (ett toppunkt per periode $\pi$ til $\sin (2x)$).

Vi kaller maksimalverdiene $b_1,b_2,b_3,\dots$, det vil si $b_{m+1}=f(x_m)$. Siden $\sin \left(2x_m\right)=\sin (\arctan (6)+2m\pi )=\sin (\arctan (6))$ er uavhengig av $m$ (sinus har periode $2\pi$), får vi

der $x_0={\displaystyle \frac{\arctan (6)}{2}}$. Dette viser at $b_{n+1}=b_1\cdot k^n$ med $k=e^{-\frac{\pi }{3}}$ konstant — altså en geometrisk tallfølge med kvotient $k=e^{-\frac{\pi }{3}}$.

Vi løser i GeoGebra CAS (se t0, b1, k, b5, s i utklippet):

Dette gir

$\underline{\underline{b_5\approx \mathrm{0,0592}}}$

Rekken $b_1+b_2+b_3+\dots$ er en uendelig geometrisk rekke med kvotient

Siden $|k|<1$, konvergerer rekken. Summen er da gitt ved

$\underline{\underline{s\approx \mathrm{6,011}}}$