Normalvektor og likning til plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{u} = [1, 2, - 1]$ og $\vec{v} = [- 1, 1, - 2]$ er gitt.

Om et plan $α$ får du vite at $α ‖ \vec{u}$ , $α ‖ \vec{v}$ og punktet $P (2, 0, 1)$ ligger i $α$ .

Vis at $\vec{n} = [- 1, 1, 1]$ er en normalvektor til planet $α$ .

Bestem en likning til planet $α$ .

Fasit

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ og $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$

$x - y - z = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Planet $α$ er parallelt med både $\vec{u}$ og $\vec{v}$ , så retningsvektorene til $α$ er $\vec{u}$ og $\vec{v}$ . En normalvektor til planet må stå vinkelrett på begge retningsvektorene, altså må skalarproduktene være null.

Vi regner ut skalarproduktene med $\vec{n} = [- 1, 1, 1]$ :

\vec{n} \cdot \vec{u} = (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (- 1) = - 1 + 2 - 1 = 0

\vec{n} \cdot \vec{v} = (- 1) \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) = 1 + 1 - 2 = 0

Siden $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ og $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ , står $\vec{n}$ vinkelrett på begge retningsvektorene til planet. Dermed er $\vec{n} = [- 1, 1, 1]$ en normalvektor til $α$ .

Et plan med normalvektor $\vec{n} = [- 1,1,1]$ gjennom punktet $P (2,0,1)$ har likning

- 1 (x - 2) + 1 (y - 0) + 1 (z - 1) = 0

Vi løser opp parentesene:

- x + 2 + y + z - 1 = 0

- x + y + z + 1 = 0

Ganger vi med $- 1$ og ordner leddene, får vi likningen til planet $α$ :

x - y - z = 1

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2023, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan

Normalvektor og likning til plan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Normalvektor og likning til plan

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Normalvektor og likning til plan

Normalvektor og likning til plan

Lov på eksamen

Temaer