Minste areal av trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (3, 2, t)$ , $B (4, - 3, 3)$ og $C (8, 3, 5)$ der $t \in ℝ$ .

For hånd

Bruk CAS til å vise at arealet av $△ A B C$ kan uttrykkes som

f (t) = \sqrt{13 (t^{2} - 8 t + 30)}

Kalkulator

Bestem det minste arealet som $△ A B C$ kan ha.

Fasit

$f (t) = \sqrt{13 (t^{2} - 8 t + 30)}$

$Minste areal = \sqrt{182} \approx 13,5$

LøsningsforslagKI-generert

Vektorene fra $A$ til $B$ og fra $A$ til $C$ er

\vec{A B} = B - A = (1, - 5, 3 - t), \vec{A C} = C - A = (5, 1, 5 - t)

Arealet av $△ A B C$ er gitt ved

Areal = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} |

I CAS regner vi ut komponentene i kryssproduktet $\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C}$ og lengden i annen, $| \vec{n} |^{2}$ :

CAS-utregning av kryssprodukt og faktorisering

CAS gir

n_{a} = 6 t - 28, n_{b} = - 4 t + 10, n_{c} = 26

| \vec{n} |^{2} = n_{a}^{2} + n_{b}^{2} + n_{c}^{2} = 52 t^{2} - 416 t + 1560 = 52 (t^{2} - 8 t + 30)

Siden $52 = 4 \cdot 13$ , blir arealet

f (t) = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 13 (t^{2} - 8 t + 30)} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{13 (t^{2} - 8 t + 30)} = \sqrt{13 (t^{2} - 8 t + 30)}

Dette er nettopp uttrykket vi skulle vise.

$f (t) = \sqrt{13 (t^{2} - 8 t + 30)}$

Siden kvadratrota er en voksende funksjon, er $f (t)$ minst når uttrykket under rota,

g (t) = t^{2} - 8 t + 30,

er minst. Dette er en parabel som vender oppover ( $a = 1 > 0$ ), så $g$ har et bunnpunkt (minimum). I CAS finner vi bunnpunktet ved å løse $g^{'} (t) = 0$ , og setter deretter $t = 4$ inn i $g$ :

CAS-utregning av areal, minimum og tallverdi

CAS gir $t = 4$ og $g (4) = 14$ . Minste areal blir dermed

f (4) = \sqrt{13 \cdot 14} = \sqrt{182} \approx 13,5

$Minste areal = \sqrt{182} \approx 13,5$ , og dette skjer når $t = 4$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2017, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Areal og omkrets, CAS, Optimering

Minste areal av trekant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Minste areal av trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Minste areal av trekant

Minste areal av trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer