Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{10}{x^{2}} + 5, x > 0

Punktet $A$ har koordinatene $(0, 0)$ , punktet $B$ ligger på $x$ -aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$ og $∠ B = 90^{\circ}$ .

Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien av $x$ slik at arealet av $Δ A B C$ blir minst mulig. Hvor stort blir arealet da?

Fasit

$x = \sqrt{2}$ , minste areal $T = 5 \sqrt{2} \approx 7,07$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $∠ B = 90 °$ og $B$ ligger på $x$ -aksen, må $A B$ være vannrett og $B C$ loddrett. Da er $B = (x, 0)$ og $C = (x, f (x))$ for en verdi $x > 0$ . Trekanten $A B C$ er rettvinklet med kateter

A B = x og B C = f (x) = \frac{10}{x^{2}} + 5

Arealet av trekanten blir dermed en funksjon av $x$ :

T (x) = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (\frac{10}{x^{2}} + 5)

Vi bruker CAS til å forenkle uttrykket, derivere og løse $T^{'} (x) = 0$ .

CAS-utregning av minste areal

Fra CAS-utklippet ser vi at

T (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{x}

T^{'} (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{2}

Likningen $T^{'} (x) = 0$ gir $x = \sqrt{2}$ eller $x = - \sqrt{2}$ . Siden $x > 0$ , forkaster vi den negative løsningen, og står igjen med

x = \sqrt{2}

Fordi $T^{'} (x) < 0$ for $0 < x < \sqrt{2}$ og $T^{'} (x) > 0$ for $x > \sqrt{2}$ (nevneren $x^{2}$ gjør at $T^{'}$ går fra negativ til positiv), er dette et minimumspunkt.

Setter vi $x = \sqrt{2}$ inn i $T (x)$ , gir CAS

T (\sqrt{2}) = 5 \sqrt{2}

Det minste arealet av $△ A B C$ er dermed

T = 5 \sqrt{2} \approx 7,07

Oppgavedata

Hentet fra: 1T E2015, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Optimering, Rasjonale funksjoner, CAS, Geometri

Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS

Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer