Midtlinjens lengde i trapes bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et trapes ABCD lar vi M være midtpunktet på AD og N være midtpunktet på BC. Se skissen.

Trapes ABCD med midtlinje MN

Vis at $M N = \frac{1}{2} (A B + D C)$

Fasit

Se bevis i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

I trapeset ABCD er AB og DC parallelle sider, med samme retning (fra venstre mot høyre, se figuren). M er midtpunkt på AD og N er midtpunkt på BC.

Vi kan skrive vektoren $\vec{M N}$ på to måter, ved å gå via B eller via D:

\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A B} + \vec{B N}

\vec{M N} = \vec{M D} + \vec{D C} + \vec{C N}

Vi legger sammen disse to likningene, ledd for ledd:

2 \vec{M N} = (\vec{M A} + \vec{M D}) + \vec{A B} + \vec{D C} + (\vec{B N} + \vec{C N})

Siden M er midtpunktet på AD, er $\vec{M A} = - \vec{M D}$ , altså

\vec{M A} + \vec{M D} = \vec{0}

Siden N er midtpunktet på BC, er $\vec{B N} = \vec{N C} = - \vec{C N}$ , altså

\vec{B N} + \vec{C N} = \vec{0}

Da gjenstår

2 \vec{M N} = \vec{A B} + \vec{D C}

\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})

Fordi AB og DC er parallelle sider som peker i samme retning, peker også $\vec{M N}$ i denne retningen, og lengdene adderes direkte (uten fortegnsproblemer):

M N = \frac{1}{2} (A B + D C)

Dette er det vi skulle vise. $■$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2020, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Vektorer, Bevis

Midtlinjens lengde i trapes bevis

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Midtlinjens lengde i trapes bevis

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Midtlinjens lengde i trapes bevis

Midtlinjens lengde i trapes bevis

Lov på eksamen

Temaer